雑談はここに書け！【６７】 (510ﾚｽ)
雑談はここに書け！【６７】 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/
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314: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/17(水) 13:19:51.29 ID:p3xZkeay >>299 任意の n≧2 なる整数nに対して n!＋1＜2(n!)＜(n＋1)! である ことを使って、Aを上から評価すれば済む Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) が有理数であると仮定する Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) ＝1＋ _{k＝2,3,…,+∞}(1/(k!＋1)) ＝1＋Σ _{k＝2,3,…,+∞}(1/k!) ＜1＋Σ _{k＝1,2,…,+∞}((1/2)^k) ＜1＋1＝2 であって、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＞1 であるから、 仮定から、或る互いに素な2つの正の整数p,qが存在してpは p≧2 を満たし Σ _{k＝
0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＝q/p である よって、(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は正の整数である 同様に、(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1)) は正の整数である。故に、 A＝(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))−(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1)) とおけば、Aは正の整数である。任意の n≧2 なる整数nに対して n!＋1＜2(n!)＜(n＋1)! であることに注意して、Aを上から評価すれば A＝(p!＋1)!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1)) ＝p!×(p!＋1)Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1)) ＜p!×(p!＋1)Σ _{k＝p,p+1,…,+∞}(1/(k!
＋1)) ＝p!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/((k＋p)!＋1)) ＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/((k＋p)!＋1)) ＜(p!)/(p!＋1)＋(p!)Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/((p＋1)!＋1)^k) ＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)/((p＋1)!＋1)×1/(1−(1/((p＋1)!＋1))) ＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)/(p＋1)!＝(2(p!))/(p＋1)! ＜1 である。よって、Aは正の整数ではない しかし、これはAが正の整数であることに反し、矛盾が生じる 故に、背理法により、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は無理数である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/314
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