[過去ﾛｸﾞ] 「名誉教授」のスレ2 (1002ﾚｽ)
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511(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 01/14(火)11:38 ID:rO5NkXOo(1/2)
>>506-509
>整列させてからが難しい
>そこで
>いろんな議論が可能な状況になる
これは御大か
巡回ご苦労様です
>おまえ、なんで選択公理で任意の集合が整列可能になるか理解してなかったろ？
>まあ、おれも、たった今分かったけどな（笑） 全然何のマジックもなかったよ（呆）
まあ、似たようなものだが
再度、下記の 尾畑研 13.3 整列可能定理を百回音読してね
『与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
直感的には集合の元を１つずつ順に並べればよいわけで有限集合に対しては何ら問題ない
しかし無限集合に対してはどうだろうかカントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた
実際ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いた』
つまり、
整列可能：＝与えられた集合に適当な順序を定義し、元を１つずつ順に並べればよい
これが、ステートメントです
整列可能から、逆に 選択公理が導かれるから
歴史的に 整列可能定理と呼ばれるけれど 実質は公理です
『適当な順序』は、本当に”適当”でよく、整列集合にできれば なんでも可 です
なので、逆の選択公理の方も、なんか選択できれば、なんでも可です
整列可能や、選択公理が、抽象的であるから、具体的であってはならないとか
妄想する アホがいますが、間違いですよ
抽象的でも、具体的でも、なんでも可です
なお、選択公理とか”必要としない”を誤解して、”適用してはならない”と解する人がいますが
公理なので、そういう制約はありません。”牛刀て鶏”みたくなりますが
公理の適用は、その公理系内では無制限ですよ
勘違いする人いるので、念押ししておく
(参考)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研 東北大
「集合・写像・数の体系 数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 尾畑研 東北大
第13章 整列集合
つづく
512: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 01/14(火)11:39 ID:rO5NkXOo(2/2)
つづき
13.3 整列可能定理
与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
直感的には集合の元をつずつ順に並べればよいわけで有限集合に対しては何ら問題ない
しかし無限集合に対してはどうだろうかカントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた
実際ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたが
ここではツォルンの補題を用いて証明しよう２）
注
１）
るカントルは年の有名な論文で整列集合の概念を与えてすべての集合を整列集合にできることは原理であり自明なことであると主張した後年になって証明を試みたようであるが成果は得られず連続体仮説とともにカントルの残した集合論の大きな課題となった年にツェルメロは選択公理を原理として提起してそれを用いて整列可能定理を証明したその議論は大論争を巻き起こしたが情況が明らかになる中でツェルメロは集合の公理を提示するとともに整列可能定理の別証明を与えた
２）赤摂也 にはツェルメロのもとの証明にしたがった議論が収められている
教科書・参考書
[4] 赤攝也：集合論入門, ちくま学芸文庫, 2014.
初版は培風館から1957年に出版され, 私も学生の頃に読んだ。集合の演算, 濃度, 順序数が主要なテーマであり, 理論展開は厳密かつ明晰であって, しかも記述は極めて丁寧。全くの初学者を本格的な(古典的)集合論に導く名著。 ただし, 記号や言葉の使い方が今よく流通しているものと異なっているものがあるから注意せよ。
(引用終り)
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