純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19

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327: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2024/11/27(水) 14:34:05.18 ID:vaeoxsb8

メモ：フーリエ変換の一般化

https://www.se.fukuoka-u.ac.jp/iwayama/
岩山　隆寛 (Takahiro IWAYAMA) 福岡大学 ・理学部 教授
https://www.se.fukuoka-u.ac.jp/iwayama/teach/teach_17.html
担当授業科目(2017年度)
惑星学基礎III
金曜日1時限目（惑星学科2年生）[Y101教室]
配布資料(第7章まで2017年度版に改訂)
ガイダンス資料
第1章 常微分方程式の解法の復習
第2章 Fourier級数
第3章 複素Fourier級数
第4章 Fourier変換とFourier積分
第5章 Fourier級数の幾何学的意味:直交関数展開
第6章 拡散方程式
第7章 波動方程式
https://www.se.fukuoka-u.ac.jp/iwayama/teach/kisoIII/2017/chap5.pdf
第5章Fourier 級数（Fourier 変換）の幾何学的意味：直交関数展開
5.3まとめ
このように級数展開がベクトルの展開と対応していることは単なる偶然ではなく関数をベクトルと見做すことはきちんとした数学の概念である
従っていま考えているような有限区間を定義域とする関数の展開だけでなく実数全体を定義域とする関数の展開も同じように考えることができる
実数全体を定義域とする関数をという完全正規直交関数系で展開したものが変換である

*5展開に用いた直交関数の個数が可算無限個か不可算無限個かに応じて展開したときの表現が和で表されたり積分で表される

先に空間内にはさまざまな直交座標が存在しその直交座標でベクトルを表現することができるがどのような座標系を用いようがベクトルuの実体は変わることが無く単に表現の仕方が異なるだけであるどの座標系を用いるかは解く問題が一番簡単になる座標系を選べばよいことを注意した
これと全く同様に関数をどのような直交関数で展開してもの実体は変わりなくただ表現が異なるだけでありどのような直交関数で展開してもよいのであるが解く問題が一番簡単になる直交関数を選び展開するのが最も便利である
ではなぜFourier級数展開やFourier変換がよく用いられるのか
それは我々に最も馴み深い波（sinkx,coskx,exp(ikx)）の集まりという目で問題を理解・解釈できるからである

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kida/index-j.html
木田 良才（きだ よしかた）東大数理
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kida/notes.html
講義ノート
・フーリエ変換と超関数 (2020/2) pdf
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kida/notes/fourier.pdf
フーリエ変換と超関数 木田良才 2020 年2月28日
このノートは2016, 2017年度の東京大学理学部数学科向けの講義と2017, 2018, 2019年度の東京大学教養学部統合自然科学科向けの講義に基づいている. ともに3年生を主対象にした講義であり, 主題はフーリエ解析と超関数である. 内容の選択に当たっては,フーリエ解析を必須としない学生も興味がもてるよう,幅広い話題に触れつつも深入りすることは避けた. 多くの文献を参考にしたが, 最も参考にしたものを挙げるとすれば次の三冊になる:
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/327

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