数学基礎論・数理論理学 その19 (605ﾚｽ)
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587: １３２人目の素数さん [] 09/27(土)15:54 ID:sOeMGv0M(1/3)
>>571 ID:f0rZ2tau
＞{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}は
＞要するにあらゆる帰納的集合の共通部分のこと。
＞帰納的集合の共通部分は帰納的集合なので
＞最小の帰納的集合となる。
>>572 ID:jwGIJR6a
＞そう、そうやって作った最小の帰納的集合には
＞我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を
＞示してほしいんですよ
♪それはちょっと でーきーないー相談ねー（中森明菜か）
まず ID:jwGIJR6aのいう「普通に考えられる自然数」を
自然数の定義によって自然数であると証明できる自然数とする
そのようなものが自然数として含まれることはもちろん証明できる
逆に、そうでないものは自然数として含まれない
ということは一階述語論理上の自然数論では証明できない
具体的にはゲーデルの不完全性定理の系である
588(1): １３２人目の素数さん [] 09/27(土)16:03 ID:sOeMGv0M(2/3)
>>575
>あなたの問題意識
>「我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい」
>は悪いけどまったくトンチンカンです。
トンチンカンとはいえないけど、「」は結果としてはできない
任意の自然数ｎに対して ｎ＜ωとなる自然数ωが存在する、という論理式を追加する
ｎ＜ωは、任意の有限個の自然数の存在と両立する
つまり自然数論の任意有限個の前提式を満たすモデルが存在する
そして一階述語論理ではコンパクト性定理が成立するので、
上記のωの存在を追加した自然数論のモデルが存在する
つまり、普通に考えられる自然数以外の非常識自然数が存在してもOK！
これ、ボクが言い出したことじゃないので
ボクに文句を言われてもどうしようもないです（笑）
589(1): １３２人目の素数さん [] 09/27(土)16:10 ID:sOeMGv0M(3/3)
＞現代数学において自然数の定義はひとつだよ
ただそれを満たす自然数のモデルは一つではない
算術の超準モデル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E8%B6%85%E6%BA%96%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
算術の標準モデルを
「いかなる算術モデルにも含まれる元しか含まない」
とする
まあ、標準モデルは存在するだろうけど、
標準モデルのみがモデルであるような自然数論を
一階述語論理上の帰納的に公理化可能な理論として
構築することはできない
もし標準モデルのみがモデルとなるような理論を考えた場合
その理論の公理を具体的に人間が判定できる形で示すことはできないだろう
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