数学基礎論・数理論理学 その19 (605ﾚｽ)
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357(1): １３２人目の素数さん [] 2024/05/25(土)15:15 ID:LLIp+91v(1/9)
1階の述語論理で
∀xP(x)はxの全てについてのP(x)の∧で
(∀xP(x))⊢P(t)は∧Eに
P(x)⊢(∀xP(x))は∧Iに過ぎないし
∃xP(x)はxの全てについてのP(x)の∨で
P(t)⊢(∃xP(x))も∨Iに
(∃xP(x)),P(x)→Q⊢Qも∨Eに過ぎない
論理式の列を有限に限る必要はないと思う
むしろ上記のように全ての集合に対して全部とすることを許せば
1階の述語論理と変数のない命題論理（ただし命題変数は全ての集合に対するP(t)の全て）は全く同じものと分かる
なぜ
全ての集合に対しての論理式の列を許さず
∀xP(x)や∃xP(x)にするのだろう
全ての集合に対しての論理式の列を考えることで
何かパラドクスが起こるのかしらん
359(1): １３２人目の素数さん [] 2024/05/25(土)15:37 ID:LLIp+91v(2/9)
いきなり全ての集合を登場させなくても
たとえば
∀x∈N∃n∈N(x<n)
=∀x∈N(x<0∨x<1∨x<2∨…)
=(0<0∨0<1∨0<2∨…)∧(1<0∨1<1∨1<2∨…)∧(2<0∨2<1∨2<2∨…)∧…
でいいのでは？
意味的には全く同じものだし
論理式の全体が定義できないかも？と思わなくもないが
多分大丈夫じゃないかな
360: １３２人目の素数さん [] 2024/05/25(土)15:38 ID:LLIp+91v(3/9)
>>358
>論理式が有限文字数で書けないから
なんだけど
想定はできるよ
書けなくてはいけないということ自体に意味があるのかな？
361: １３２人目の素数さん [] 2024/05/25(土)15:39 ID:LLIp+91v(4/9)
>>358
>そんなものを人間は扱い得ないと思われる
コンピュータには無理そうと思われるけどね
364(1): １３２人目の素数さん [] 2024/05/25(土)18:13 ID:LLIp+91v(5/9)
>>362,363
自然で∀も∃もいらないのに上手くいかないのってなぜかな
人間が無限を知覚するのにある一定の型にそったもの（P(x)）しか考えられないてこともないと思うんだけど不思議
367: １３２人目の素数さん [] 2024/05/25(土)19:55 ID:LLIp+91v(6/9)
>>365
それは全部に証明がつけられてもその全部を∧したものに証明がないてことで
感覚的には当然かなと思える
てのは
証明の長さは有限じゃないといけないように思うから
無限を許すのは論理式の列だけで
証明の長さも無限を許すてのはどうかなあ
まあ絶対禁止というのでもなくてもいいかとも思うが
368(1): １３２人目の素数さん [] 2024/05/25(土)20:14 ID:LLIp+91v(7/9)
>>365
そうか
P(x)だけ考える場合
証明はどのxについても同じ長さだから
全部合わせても並列で同じ長さてことが効くのかも？
370: １３２人目の素数さん [] 2024/05/25(土)21:20 ID:LLIp+91v(8/9)
>>369
∀使わずそれを並列にするってことよ
371: １３２人目の素数さん [] 2024/05/25(土)21:21 ID:LLIp+91v(9/9)
内容は同じでしょ？許容してもいいんじゃないかな
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