[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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527(1): １３２人目の素数さん [sage] 2023/03/18(土)18:19 ID:0AgVS/Gm(29/30)
>>522
> おっちゃんは障〇者
・・・かどうかは知らんが
数学書を読んで理解できるだけの読解力がない
数学を学びたいなら、少なくとも論理を理解してからにしてくれ
でないと間違うばかり
528(2): １３２人目の素数さん [sage] 2023/03/18(土)18:20 ID:0AgVS/Gm(30/30)
>>525
> おっちゃんもう寝る
耳の痛いこといわれて反発してフテ寝するだけなら
数学が理解できる境地は永遠に到達しない、と断言する
529(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)18:49 ID:JUHxSStf(1/2)
>>528
人間が数学を理解するのは
カラスが餌をついばむのと
生物学的には大差ないと思うので
あまり大袈裟な言い方はしないでほしい
530(3): １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)19:05 ID:M09HE8oG(12/24)
>>523
Saitoh's conjecture
について、調べた結果
https://arxiv.org/pdf/1712.04207.pdf
A proof of Saitoh's conjecture for conjugate Hardy H2 kernels
Qi'an Guan
[8] S. Saitoh, Theory of reproducing kernels and its applications. Pitman Research Notes in
Mathematics Series, 189. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United
States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1988. x+157 pp. ISBN: 0-582-03564-3
(下記サイトから冒頭2ページのみダウンロード可能)
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4757-2987-0_15
Home Reproducing Kernels and their Applications Chapter
Applications of the General Theory of Reproducing Kernels
Saburou Saitoh
https://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/2003/Spring-Meeting/2003_Spring-Meeting_66/_pdf/-char/ja
数学会/総合講演・企画特別講演アブストラクト/2003 巻 (2003) Spring-Meeting 号
再生核の理論について 斎藤三郎(群馬大工)
0はじめに
再生核の理論は,1921年と1922年に出版された論文にそれぞれゼゲー核とベルグマン核と呼ばれ
る典型的な再生核が初めて現れ,その後それらの再生核は多くの人々によって研究され,複素解析学
における大きな理論に発展してきました.他方,再生核の一般的な理論は1950年にアロンシャイン
によって出版された論文同で一応完成されていました.さらに一般理論について,超関数の理論の
創始者ローランシュワルツが1964年に140ページを越える大論文【401を出版していることは大変
注目されます.
つづく
531: １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)19:06 ID:M09HE8oG(13/24)
>>530
つづき
しかし,再生核の一般理論は美しい理論であるにもかかわらずそれがなぜ重要であるかの明確な
根拠が見出されず,抽象的な理論として永い間小さな存在であったと思います.シュワルツの大論文
は現在でもなお無名の存在であると言えます.
筆者が1983年に出版した論文[19]で,再生核の理論と線形写像の考えを結び付け,再生核の理論
がベルグマン核やゼゲー核の理論に限られたものではなく,ヒルベルト空間の考えと同じくらいに数
学において基本的で,普遍的であるとの明確な位置づけを与えたと思っています.ここでは1983年
以降,線形写像と再生核の理論を結び付けることによって発展してきた研究成果を主体に,さらにで
きるだけ広い視点から再生核の理論について述べたいと思います.
P75
ノルム(13)に関して,次のbestpossibleな不等式が成り立ち,一見奇妙なノルム(13)の自然性が現れている:
式略
この不等式を導くのは簡単ではなく,証明にはバーディ核と対応する核の積の再生核空間の構造と
1価な積分を持つベルグマン空間の構造の関係を詳しく調べる必要がある([20]).
[20]S.Saitoh.Theory of Reproducing Kernels and its Applications. Pitman Research Notes in Mathematics Series, 189 (1988), Longman Scientific & Technical, UK.
(引用終り)
以上
532(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)19:25 ID:JUHxSStf(2/2)
>>530
A weighted version of Saitoh's conjecture
Qi'an Guan, Zheng Yuan
https://doi.org/10.48550/arXiv.2207.10976
533(1): １３２人目の素数さん [sage] 2023/03/18(土)20:11 ID:q6Sc6HXZ(2/3)
数学を理解するというのは
ダニエル・カーネマンのFast & Slowの考えで言うと、Slow thinkingの方で
これは本能的ではなく、努力を要するもの。
人間はラクなFast thinkingに傾きがちなのだから。
岡潔に言わせれば、「自我を抑止する」のだと。
これも言ってることはほぼ同じ。
534(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)20:30 ID:M09HE8oG(14/24)
>>532
ありがとう
[Submitted on 22 Jul 2022 (v1), last revised 16 Aug 2022 (this version, v2)]
ね
これは、まだ正式の査読論文ではないようですね
535(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)20:40 ID:M09HE8oG(15/24)
>>530
再生核 Reproducing kernel
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Reproducing_kernel
Reproducing kernel Encyclopedia of Mathematics
https://en.wikipedia.org/wiki/Reproducing_kernel_Hilbert_space
Reproducing kernel Hilbert space
http://ibisforest.org/index.php?%E5%86%8D%E7%94%9F%E6%A0%B8Hilbert%E7%A9%BA%E9%96%93
朱鷺の杜Wiki
再生核Hilbert空間 (reproducing kernel Hilbert space)
Hilbert空間 (完備性と可分性をもつ内積が定義されたベクトル空間) の一つで以下のようなもの．
正定値カーネル k(xi,xj) で，次の再生核写像で，元の点 xi が高次元空間に写される．
Φ:xi→k(x,xi)
空間中のある点 xi に対するこの写像の像の線形結合で構成されるベクトル空間が再生核Hilbert空間
f(x)=∑i=1mαik(x,xi)
この空間の元 f について，f(x)=(f,k(・,x)) で関数の値が計算できる再生性が重要．これにより，内積計算が元空間のカーネルで計算できる
(k(・,xi),k(・,xi))=k(xi,xj)
多くの場合，任意の点 x の値が，与えられたサンプル点 xi についての f(x)=∑mi=1αik(x,xi) で計算できる (レプリゼンタ定理) ．よって，元の空間での内積だけで高次元モデルを扱えるようになるので利点はあるが，ある値を計算する度にデータ全体を走査するのでデータ数が多いときの計算は不利．
--しましま
関連項目
reproducing kernel Hilbert space
レプリゼンタ定理
representer theorem
正定値カーネル
検索:再生核Hilbert空間 再生核ヒルベルト空間 RKHS
リンク集
Reproducing Kernel Hilbert Spaces@M.Jordan
統数研 公開講座「カーネル法の最前線 ― ＳＶＭ, 非線形データ解析, 構造化データ ― 」 のカーネル法の基礎
Wikipedia:Reproducing_kernel_Hilbert_space
関連文献
Book/The Elements of Statistical Learning 5.8章
Book/学習システムの理論と実現 3.6節
536(1): １３２人目の素数さん [sage] 2023/03/18(土)20:53 ID:q6Sc6HXZ(3/3)
1やおっちゃんが得意なこと
→数学書の目次漁り、連想ゲーム
これはFast thinkingだね。
あるひとが、一生数学を理解するに
至らないとしても、まったく不思議は
ないと思う。それだけ論理的思考と
いうのは、中々に大変なこと。
537(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)20:53 ID:M09HE8oG(16/24)
>>535
>再生核 Reproducing kernel
>Book/学習システムの理論と実現 3.6節
機械学習に再生核理論が使われるみたい（下記）
http://ibis.t.u-tokyo.ac.jp/suzuki/lecture/2020/intensive2/%E8%AC%9B%E7%BE%A96.pdf
深層学習および機械学習の数理
鈴木大慈
東京大学大学院情報理工学系研究科数理情報学専攻
理研 AIP
2020 年 9 月 2 日～4 日
@九州大学集中講義
Outline
1 カーネル法と RKHS における確率的最適化
・再生核ヒルベルト空間の定義
・再生核ヒルベルト空間における最適化
2 深層ニューラルネットワークとカーネル
P10
再生核ヒルベルト空間
(Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS)
P11
再生核ヒルベルト空間の性質
P12
再生核ヒルベルト空間のイメージ
（これいいね）
P16
再生核ヒルベルト空間内の確率的最適化 (1)
538(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)21:44 ID:biqsaBg2(1/2)
ヒルベルト空間は無個性だが
RKHSには幾何がある
539(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)22:41 ID:biqsaBg2(2/2)
>>534
12月にアクセプトされている
540(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)22:52 ID:M09HE8oG(17/24)
>>537 追加
これ面白くてためになる
”自己紹介など
３年前：インド
Ball 師匠「数学の学生の就職対策に再生核の理論はもってこい」
カーネル法の数学的仕組みに詳しいことに気づく．
ここ数年：横須賀
機械学習について勉強中．しかし、応用は素人（通信空手黒帯のような状態）．”
http://www.butsuri.it-chiba.ac.jp/~yasutake/
千葉工業大学「基礎科学セミナー」
http://www.butsuri.it-chiba.ac.jp/~yasutake/matter/seto.pdf
第47回 "演習 カーネル法" 2019年12月
瀬戸 道生（防衛大学校・数学教育室）
<<要旨>>
機械学習界隈で話題のカーネル法を数学の立場から解説します。数学の立場とは言っても難しいことは何もなく、カーネル法の基本的なアイデアを理解するには理工系学部２年次程度の数学（線型代数、微分積分、複素関数論）の基本的な知識があれば十分です。 特に、今回は数学の演習としてカーネル法を解説することを試みます。カーネル法ユーザーの方には、なかなか勉強する時間はとれないけど、一度聞いておけば安心する話 （カーネル関数の構成法、リプレゼンター定理の使い方など）を提供します。
P5
自己紹介など
３年前：インド
Ball 師匠「数学の学生の就職対策に再生核の理論はもってこい」
カーネル法の数学的仕組みに詳しいことに気づく．
ここ数年：横須賀
機械学習について勉強中．しかし、応用は素人（通信空手黒帯のような状態）．
P6
今回のお話
この話の内容
? 第１部 カーネル法とは何か？
? 第２部 カーネル法の理論と応用
? 第３部 サポートベクトルマシン入門
注意
学部２、３年生に講義するつもりで話します。
つづく
541: １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)22:53 ID:M09HE8oG(18/24)
>>540
つづき
P21
カーネルトリックの数学的背景
用語の整理
? HK は再生核ヒルベルト空間とよばれる．
P22
なぜ再生核ヒルベルト空間 (RKHS) を考えるのか
RKHS に期待される２つの機能
? 直交射影が使える．
? 代入が内積で表される．
代入が内積で表される数学は良い数学（注：内積→たたみ込み積）
P24
第一部のまとめ
カーネル法（カーネルトリック）とは
? 非線型なデータを「直交射影」プラス「代入が内積（≒積分）
で表される仕組み」で扱う方法である．
? 特徴写像 Φ : x 7→ kx にデータの非線形性が組み込まれている
（従って，問題は特徴写像の選び方（モデルの選択）である）．
常微分方程式 ラプラス変換
?→ 代数方程式
非線形なデータの問題 カーネルトリック
?→ 線形代数の問題
P28
フォン ノイマン流の量子力学に詳しい方へ
RKHS は「ヒルベルト空間」と「自己共役作用素」の組
P36
第二部のまとめ
カーネル法勉強の目安
? 内積の計算ができて有名な定理の意味がわかれば基本は OK．
? カーネル関数のいろいろな構成法を知っておくと将来便利
かも．
参考文献
[1] 赤穂昭太郎，カーネル多変量解析，岩波書店．
[2] 竹内一郎，鳥山昌幸，サポートベクトルマシン，講談社．
[3] 金森敬文，統計的学習理論，講談社．
[4] 福水健次，カーネル法入門，朝倉書店．
[5] C. M. ビショップ，パターン認識と機械学習，丸善出版．
[6] 私の講義ノート，https://researchmap.jp/mseto/ の資料公開．
https://researchmap.jp/mseto/books_etc
書籍等出版物
機械学習のための関数解析入門 : ヒルベルト空間とカーネル法
瀬戸, 道生, 伊吹, 竜也, 畑中, 健志
内田老鶴圃 2021年4月 (ISBN: 9784753601714)
(引用終り)
以上
542: １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)23:03 ID:M09HE8oG(19/24)
>>538-539
12月にアクセプトね、了解
ヒルベルト空間は無個性だが
RKHSには幾何がある
↓
”RKHSには個性的な幾何がある”
Bergman kernels
543(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)23:18 ID:M09HE8oG(20/24)
>>535
>https://en.wikipedia.org/wiki/Reproducing_kernel_Hilbert_space
>Reproducing kernel Hilbert space
追加引用 （一部google訳）
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Different_Views_on_RKHS.png
図は、RKHS を表示するための関連するさまざまなアプローチを示しています。
RKHS ではない関数のヒルベルト空間を構成することは、完全に単純ではありません。[1]ただし、いくつかの例が見つかっています。[2] [3]
It is not entirely straightforward to construct a Hilbert space of functions which is not an RKHS.[1] Some examples, however, have been found.[2][3]
L2 spaces are not Hilbert spaces of functions (and hence not RKHSs), but rather Hilbert spaces of equivalence classes of functions (for example, the functions
f and g defined by f(x)=0 and
g(x)=1_Q are equivalent in L2). However, there are RKHSs in which the norm is an L2-norm, such as the space of band-limited functions (see the example below).
An RKHS is associated with a kernel that reproduces every function in the space in the sense that for every x in the set on which the functions are defined, "evaluation at x" can be performed by taking an inner product with a function determined by the kernel. Such a reproducing kernel exists if and only if every evaluation functional is continuous.
つづく
544: １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)23:19 ID:M09HE8oG(21/24)
>>543
つづき
The reproducing kernel was first introduced in the 1907 work of Stanis?aw Zaremba concerning boundary value problems for harmonic and biharmonic functions. James Mercer simultaneously examined functions which satisfy the reproducing property in the theory of integral equations. The idea of the reproducing kernel remained untouched for nearly twenty years until it appeared in the dissertations of Gabor Szeg?, Stefan Bergman, and Salomon Bochner. The subject was eventually systematically developed in the early 1950s by Nachman Aronszajn and Stefan Bergman.[4]
これらの空間には、複雑な解析、調和解析、量子力学など、幅広い用途があります。カーネル ヒルベルト空間の再現は、経験的リスク汎関数を最小化する RKHS 内のすべての関数は、トレーニング ポイントで評価されるカーネル関数の線形結合として記述できると述べている有名な代表定理のため、統計学習理論の分野で特に重要です。これは、経験的リスク最小化問題を無限次元から有限次元の最適化問題に 効果的に単純化するため、実際に役立つ結果です。
理解を容易にするために、実数値ヒルベルト空間のフレームワークを提供します。この理論は、複素数値関数の空間に容易に拡張できるため、分析関数の空間であるカーネル ヒルベルト空間を再現する多くの重要な例が含まれています。[5]
(引用終り)
545(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)23:55 ID:M09HE8oG(22/24)
>>543 追加
そうそう
Square-integrable_function L2（＝L^2のこと）
数列では、ｌ2（ｌは筆記体のつもり）
”ヒルベルト空間でもある；”だった
https://en.wikipedia.org/wiki/Square-integrable_function
Square-integrable function
In mathematics, a square-integrable function, also called a quadratically integrable function or
L^2 function or square-summable function,[1] is a real- or complex-valued measurable function for which the integral of the square of the absolute value is finite. Thus, square-integrability on the real line
(-∞ ,+∞ ) is defined as follows.
略
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E4%B9%97%E5%8F%AF%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%87%BD%E6%95%B0
自乗可積分函数
自乗可積分函数（じじょうかせきぶんかんすう、英: square-integrable function）とは、実数値または複素数値可測函数で絶対値の自乗の積分が有限であるものである。
自乗可積分函数の空間は、Lp 空間のp = 2 に対応する。
つづく
546: １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土)23:56 ID:M09HE8oG(23/24)
>>545
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space
For the sequence space ｌp, see Sequence space § ｌp spaces.
In mathematics, the Lp spaces are function spaces defined using a natural generalization of the p-norm for finite-dimensional vector spaces. They are sometimes called Lebesgue spaces, named after Henri Lebesgue (Dunford & Schwartz 1958, III.3), although according to the Bourbaki group (Bourbaki 1987) they were first introduced by Frigyes Riesz (Riesz 1910).
Lp spaces form an important class of Banach spaces in functional analysis, and of topological vector spaces.
Hilbert spaces
See also: Square-integrable function
Hilbert spaces are central to many applications, from quantum mechanics to stochastic calculus. The spaces
L^2 and l^2 are both Hilbert spaces. In fact, by choosing a Hilbert basis
E, i.e., a maximal orthonormal subset of
L^2 or any Hilbert space, one sees that every Hilbert space is isometrically isomorphic to
l ^2(E) (same E as above), i.e., a Hilbert space of type ｌ2.
https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93
Lp空間
可算無限次元における p-ノルム
詳細は「数列空間」を参照
l^2二乗総和可能な数列の空間で、ヒルベルト空間でもある；
(引用終り)
以上
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