[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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694(2): １３２人目の素数さん [sage] 2021/10/12(火)23:07 ID:utxwvVVl(1)
f(x)=4^(1/x)の反復合成冪の極限lim(n→+∞)fﾟⁿ(x)が定数関数になりそうだけど能力がなくて証明できない
https://i.imgur.com/LzKNE9c.jpg


あと4の部分を別の数字にすると、16ぐらいから収束しなさそうになる
https://i.imgur.com/p08Y28u.jpg

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703: １３２人目の素数さん [sage] 2021/10/13(水)13:07 ID:BrWa5pot(2/3)
>>702
は
>>694
宛て

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705(1): １３２人目の素数さん [sage] 2021/10/13(水)14:27 ID:iMDXTGIs(1/2)
>>694
y=f(x)=exp(a/x)　と y=x の交点を求める.
　{　n^{1/x}=exp(log(n)/x) より a=log(n), n=e^a }
x = exp(a/x)
x*log(x)=a
log(x)*exp(log(x)) = a
W(a) = log(x) {W: ランバートW関数}
∴　x = α := exp(W(a))=W(a)*exp(W(a))/W(a) = a/W(a)
交点はこの1点のみ

y=f(f(x))=exp(a/x)　と y=x の交点 (x>0) を求める.
g(x) := ff(x)-x = exp(a*exp(-a/x)) - x

g'(x) = (a/x)^2 * exp(-a/x) * ff(x) - 1
g'(α) = (a/α)^2 * 1/α * α - 1 = W(a)^2 - 1 {←これはaの増加関数}

g"(x) = { -2/x +a/x^2 + (a/x)^2 * exp(-a/x) } * ff(x)
g"(x) = 0 (x>0) となる点、つまり y=g(x) の変曲点は 1点のみ 　(詳細省略)
また a=e の時は g'(α)=g"(α)=0 (交点かつ変曲点)

よって y=f(f(x)), y=x は高々3点の交点を持つ. f反復の振動性により
a≦e では x=α の1点
e<a では x=α の左に x=β1　右に x=β2 の交点を持つ

f反復における解釈は
x=α = a/W(a) は常に不動点, 他の点では、
a≦e の場合: α の1点に収束
e<a の場合: 有界振動して収束しない. 振幅の左側は β1　右側は β2 に収束する.

収束境界: n=e^a = e^e = 15.15426...
「16ぐらいから収束しなさそう」なのは正しいですね

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