面白い問題おしえて～な二十二問目©2ch.net

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1 転載ダメ©2ch.net [sageteoff] 2016/05/29(日) 20:27:46.04 ID:Bgd/STsi(1)
過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

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2 ￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/29(日) 20:32:34.70 ID:+FYO+/hK(1/19)
￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>

8 ￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/29(日) 20:34:24.84 ID:+FYO+/hK(7/19)
￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>

55 2016/06/27(月) 05:30:33.99 ID:SuT+FOAi(3/13)
×x^2+1<=p<=x^2+x-1の範囲
○x^2+1<=p<=x^2+2x-1の範囲

59 2016/06/27(月) 09:15:57.07 ID:V+43IZV3(2/7)
ｍの倍数じゃないのは素数だとしてるのが駄目。

72 2016/06/27(月) 20:08:48.64 ID:SuT+FOAi(13/13)
(続く)
N(x,m)が最小となるのは、N(x,m)がkの2次式でその2次の項の係数が負であり
頂点がk=1/(2(1-2am/x^2))<1/2であるからk=m-1、b=1のときに最小となる
④から、1/m<r<2/m+a
m=2のとき、1<r<1+aとなり、rはa-1個存在する
m>2のとき、1<r<=1+aとなり、rはa個存在する

mは⑤の範囲をとるので
(1)xが偶数のとき
x^2/2+1<=m<=x、mの取り得る個数は-x^2/2+x
この範囲でのrの取り得る個数の最大値は、a(-x^2/2+x)
よって、⑥の範囲でpの取り得る値の個数の最小値P1(x)は
P1(x)=x-a(-x^2/2+x)=x(a(x-2)+2)/2>0

(2)xが奇数のとき
x^2/2+2<=m<=x、mの取り得る個数は-x^2/2+x-1
この範囲でのrの取り得る個数の最大値は、a(-x^2/2+x-1)
よって、⑥の範囲でpの取り得る値の個数の最小値P2(x)は
P2(x)=x-a(-x^2/2+x-1)=x(a(x-2)+2)/2+a>0

したがって、x^2+1<=n<=x^2+x-1の範囲に、少なくとも1個以上の素数が存在する。

192 2016/09/19(月) 10:16:54.83 ID:WkXxCgES(1)
「数学の問題」第３集、日本評論社 (1988)から

〔問題41〕
水平に一直線に伸びている線路の上を、一定の速度で走っている列車から、遥か遠方にある平行四辺形に建てられた煙突が見えました。(◇PQRS)
地点A、B、Dを通過した時刻を計ったら、下記の表のとおりでした。

---------------------------------------
A（PとRが重なって見える）　　　　18:32
B（PとQ、RとSが重なって見える）　19:32
C（QとSが重なって見える）　　　　？
D（QとR、SとPが重なって見える）　19:56
----------------------------------------

ところが、あいにくCの地点では
、すれ違った列車に邪魔されて、通過時刻が計れませんでした。
しかしよく考えてみたら、点Cの位置は、4本の煙突が平行四辺形をなす限り一定であることが分かりました。
この事実を証明し、点Cを通過した時刻を求めて下さい。

・文献
一松「数学100の問題」p.30-31 日本評論社 (1984)

267 2016/12/07(水) 22:44:39.55 ID:n5LgmO4O(1)
２次正方行列 A、B がA^2 + B^2 = 2AB をみたすならば、AB=BA であることを示せ。

個人的には面白かった（苦労した）けど、どうかな？
エレガントな解法ないかなあ？ ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

272 2016/12/08(木) 16:39:07.71 ID:qXH9jzFo(2/2)
>>270
行列AとBを交換して、式を書き換えることは可能で
B^2 + A^2 = 2BA
A^2 + B^2 = 2ABだから、AB = BA

305 2016/12/18(日) 02:41:37.24 ID:DDIPLw4L(1/3)
>>304
Ａを n次正方行列とし、その固有多項式を
　f(t) =｜tＩ - Ａ|,
とします。

Cayley-Hamiltonにより
　ｆ(Ａ) = O,
　Ａ^n = (Ａのn-1次以下の多項式）
ただし、Ａ^0 = Ｉ.
これを使って
　exp{Ａ} = Σ[k=0～∞) (1/k!)Ａ^k
をＡの(n-1)次以下の多項式で表わす問題です。

Ａが2次のときは簡単で
exp{Ａ} = (1/2)(e^α + e^β)Ｉ+ [(e^β - e^α)/(β-α)][Ａ - (1/2)(α+β)Ｉ]　　　(α≠β)
　　　　= e^α [(1-α)Ｉ + Ａ]　　　　(α=β)
です。ここにα、βは固有多項式 f(t) = tt - tr(Ａ)t + det(Ａ) の根です。

Ａが3次以上のときはどうなるでしょうか？

（注）Ａを対角化する方法は、固有ベクトルを求めねばならず、ひじょうに面倒です。

308 2016/12/18(日) 23:21:03.30 ID:DDIPLw4L(2/3)
>>306-307
Lagrange-Sylvesterの補間式を使うといいらしい･･･

・参考書
千葉克裕「行列の関数とジョルダンの標準形」【増補改訂版】サイエンティスト社（2010/June)
　260p．2700円
http://www.scientist-press.com/14_294.html
http://www.amazon.co.jp/dp/4860790391

317 2016/12/20(火) 14:36:37.23 ID:9UZFmJjk(1)
>>305 の起源は、

〔補題〕
A, B が実対称行列のとき
tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)},
等号成立は AB=BA のとき。
　
（京大RIMS元所長）荒木教授ご提出らしい。

数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社（1978)　No.96

331 2016/12/30(金) 09:22:32.17 ID:3xw/LRFD(1/3)
指数行列とか、普通の線型代数の本には載ってないんよな

346 2017/01/02(月) 12:27:30.25 ID:gtCAemnU(1/2)
>>344
正解。
1002401=(49+1000i)(49-1000i)=(20+1001i)(20-1001i)
と分解できるので
(49+1000i)-(20+1001i)=29-i=(1+i)(14-15i)
(49+1000i)+(20-1001i)=69-i=(1+i)(34-35i)
14^2+15^2=196+225=421
34^2+35^2=1156+1225=2381
と計算すれば、素因数の候補として421と2381が得られる。
あとは実際にこれらが素数であることを確認すれば終わり。

362 2017/01/09(月) 23:46:45.82 ID:heX4sXlu(1)
>>354
それって、素数を小さい方から順に並べた列を{p(n)}として、
Π[n=1,∞]p(n)/(p(n)-1)
が収束するか否か、収束するならそれは100を超えるか
という問題に帰結する気がする。

379 2017/01/12(木) 17:57:16.59 ID:KoI7U9S5(1)
自分の中ではまだ未解決だけど投稿します

n
Σ(-1)^k･nCk･√k
k=0

はn→∞で0に収束するか。

387 2017/01/19(木) 15:48:05.48 ID:8ENcHfIC(1)
>>379 の類題のうち自力で解決できた問題

n
Σ(-1)^k･nCk･1/√(k+2)
k=0

は n→∞ で0に収束するか。

388 2017/01/22(日) 03:33:49.40 ID:j1H92TDS(1/2)
>>387

1/√(k+2）＝(2/√π)∫(0～∞）e^{-(k+2)xx｝dx,

(与式）＝（2/√π)∫(0～∞）e^(-2xx){1-e^(-xx)}^n dx,

xx=y とおくと、
f(y)＝e^(-2y){1-e^(-y)}^n
＝(4/nn){(n/2)e^(-y)}^2･{1－e^(-y)}^n
≦(4/nn){n/(n+2)}^(n+2)　　　←相乗･相加平均
＝{4/n(n+2)}{n/(n+2)}^(n+1)
＝f(y0)
≒4/{een(n+2)},

∵ (1＋2/n)^((n+1)/2) ≒ｅ,

f(y）は y0＝log((n+2)/2）にただ１つの極大をもつ。
その近傍を正確に求めるため、放物線→Gaussian で近似する。
f(y)≒f(y0){1－((n+2)/n)(y－y0)^2}
　　≒f(y0)ｅ^{－((n+2)/n)(y－y0)^2},

これをyで積分する（-∞～∞）と
dx＝dy/(2√y)≒dy/(2√y0),

(与式）≒ｆ(y0)/√{y0･(n+2)/n}
≒4/{ee(n+1)(n+2)√y0}
→　0　(n→∞)

鞍点法、峠点法、WKB法とか云うのかな？

435 2017/02/14(火) 03:26:02.08 ID:3PjooF29(1)
a[1]<a[2]<・・・を正の整数からなる無限列とする.
正の整数kに対してa[i]+a[j]=kを満たす組(i,j)のうち,i≦jであるものの個数をf(k),i<jであるものの個数をg(k)と表す.
(1)f(n)≠f(n+1)を満たす正の整数nが無限個存在することを示せ.
(2)g(n)≠g(n+1)を満たす正の整数nが無限個存在することを示せ.

457 2017/02/17(金) 00:58:24.76 ID:rkFHAkU2(1)
m,kは非負整数とする

(1)
8k+7は、3個の平方数の和として表せないことを示せ
逆は成り立たない（例えば28）

(2)
(4^m)(8k+7)は、3個の平方数の和として表せないことを示せ
逆も成り立つ（が証明は知らない）

520 2017/02/28(火) 19:52:13.90 ID:kXdyJKaI(1)
ちょっとした自作問題

(1) 0＜a_1≦a_2≦a_3≦… は実数の無限列であり、
Σ[n＝1～∞] 1 / a_n ＜＋∞ を満たすとする。
このとき、lim[n→∞] n / a_n ＝ 0 が成り立つことを示せ。

(2) (1)を用いて、Σ[n＝1～∞] 1/n ＝＋∞ が成り立つことを示せ。

589 2017/04/02(日) 08:34:08.12 ID:ZC9upwmt(1/4)
置かれた石によって分断された碁盤は、いくつかの小さな碁盤の集合と見なせる。
例えば20×1の碁盤の端から5番目の場所に石を置くと、
石を置ける場所が端から1～3番目の3ヶ所と7～20番目14ヶ所になるので、
3×1の碁盤と14×1の碁盤からなる集合となる。
これを単に{3,14}と表わすことにする。

>>587
初期状態が{20}の場合、先手がどう打っても
2手目で{3,11},{3,12},{7,7},{1,3,10},{2,3,9},{3,3,8},{4,5,5}のいずれかにでき、
4手目で{8},{1,7},{2,6},{2,7},{4,4},{5,5},{1,1,8},{1,3,5},{2,2,4},{3,3,4},{1,1,3,3},{1,2,3,3},{1,1,1,1,4}のいずれかにできる。
以下省略するが、これで後手必勝となる。

593 2017/04/02(日) 11:39:01.55 ID:PMEV8D9U(1/2)
>>589
4手目で{1,3,5}のとき先手必勝じゃね？

629 2017/04/22(土) 19:46:36.56 ID:5NOd/v+A(1)
三辺の辺長が全て有理数で面積が自然数の直角三角形のうち、周長が最小のものを見つけよ。
無理ならば、12より短いものをいくつか見つけよ。

634 2017/04/24(月) 02:20:25.30 ID:2d047hsf(1/3)
>>629
互いに素なピタゴラス数は、一般に
互いに素で偶奇の異なるm＞nなる自然数の組(m,n)を用いて
(m^2+n^2, m^2-n^2, 2mn)と表される。
よって、３辺の長さがいずれも有理数の直角三角形の３辺は
このm,nと自然数kを用いて
((m^2+n^2)/k, (m^2-n^2)/k, 2mn/k)と表せる
このとき、周長はL=2m(m+n)/k
ここで、面積をS=mn(m+n)(m-n)/k^2とおくと、
k^2=mn(m+n)(m-n)/S
∴ L^2=4Sm(m+n)/(n(m-n))
ここで、m>nより、x=m/n-1（＞0）とおくと
L^2=4S(x+1)(x+2)/x=4S(3+x+2/x)≧4S(3+2√2)
となる。（実際は、等号成立条件x=√2が成り立たないので、等号は成立しない）
なお、面積Sが整数なので、k^2は1またはmn(m+n)(m-n)の平方因子である。
(m,n,k)=(2,1,1)のとき、S=6，L=12となる。
S≧7のとき、L＞√(28(3+2√2))=12.7748…なので、
L≦12となるためには、S≦6であることが必要条件となる。

644 2017/04/25(火) 12:00:01.81 ID:EqKHfovF(1)
１５１９／４９２，４９２０／１５１９，３３４４１６１／７４７３４８。

657 2017/04/27(木) 19:29:02.13 ID:QgorJ0uU(1)
n個の自然数 a1, a2, …, an が
f = 1/a1 + 1/a2 + …+ 1/an < 1
を満たしながら変化するとき、fの最大値を求めよ

684 2017/05/03(水) 08:25:28.29 ID:CA3OuLpK(1/8)
nを自然数とする。以下のすべての条件を満たす自然数の組(a1,a2,・・・,an,b1,b2・・・,bn)の個数を求めよ。
•n≧a1≧a2≧・・・≧an≧1
•n≧b1≧b2≧・・・≧bn≧1
•a1≧b1,a2≧b2,・・・,an≧bn
•a1≠1,a2≠2,・・・,an≠n
•b1≠1,b2≠2,・・・,bn≠n

719 2017/05/07(日) 23:20:54.52 ID:w0p+snB0(1)
>>717
面積をS、周をL、r=S/Lとする。
円の場合も正方形そのものの場合もr=1/2だが、正方形の角をすこし切り取るとrは少し1/2より大きくなる。
（角を切り取って正８角形にしてしまうと同じくr=1/2となってしまうので、それよりも小さめに切り取る）

角から２辺がaの直角二等辺三角形を4つ切り取ることを考えると、
S=4-2a^2
L=8-(8-4√2)a
これからrをaで微分して増減を調べると
a=2+√2-2√(1+√2) でrは最大値 3+√2-(√2+2)√(√2+1)=0.5235…

ただし、周が曲線になる場合や、さらに辺の数を多くする場合はよーわからん。

781 2017/05/24(水) 22:52:22.84 ID:jWr6jwLQ(1)
(1)平面上にOの文字を互いに交わらないように非可算個描くことは可能か？
(2)平面上にQの文字を互いに交わらないように非可算個描くことは可能か？

797 2017/05/25(木) 15:51:09.30 ID:MHIDXysu(1/2)
>>781 (2)不可能。証明の流れはこう

平面と(0,1)×(0,1)は同相なので、全てのQは X=[0,1]×[0,1] の中にあるとしてよい。
X上の空でない閉集合全体の集合をYとおく。
Y上の距離Dを次のように定める：
D(A,B) := max( max_[a∊A] min_[b∊B] d(a,b) , max_[b∊B] min_[a∊A] d(a,b) )
(ただし d は通常の距離)
この時、距離空間(Y,D)は第二可算公理を満たす。

X上に描かれた全てのQ全体の集合をPとおくと、
Pは非可算な離散集合となるが、これは(Y,D)の第二可算性と矛盾。

867 2017/06/02(金) 17:04:30.23 ID:d5iRJzZX(2/2)
(1)　連続する2個の自然数の積がn乗数にならないことを示せ。
(2)　連続するn個の自然数の積がn乗数にならないことを示せ。

924 2017/06/09(金) 10:58:23.12 ID:wDnUTZ6a(1/2)
1行整数問題詰め合わせ
たぶん難易度順
m,nは自然数

(1)　C[2015,n]が偶数になるnを求めよ。
(2)　全てのnに対してn^4+aが素数にならないような自然数aが無限に存在することを示せ。
(3)　2n-1,3n-1,5n-1のいずれかは平方数にならないことを示せ。
(4)　a_n=2^n+3^n+6^n-1の全ての項と互いに素である自然数を求めよ。
(5)　(n^3+1)/(mn-1)が整数となるm,nを求めよ。
(6)　m,nに対してN=(m^2+n^2)/(mn+1)が自然数のとき、Nは平方数であることを示せ。
(7)　(2^n+1)/n^2が自然数となるnを求めよ。

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