Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

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998: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/23(土) 10:11:25.37 ID:KYsCHIBD

>>984
>カントールは有理数のコーシー列の同値類を実数と定義した
>つまり、
>収束先とかいう妄想を完全に排除した
>無限性とかいう妄想を完全に排除した

多分違うよ
あなたの受けた 1980年代の日本の数学科は、そういう厳密病の教育だった気がする
その後、数学も進歩して ノンスタ（超準）などが出て、21世紀の数学は結構自由なのだとなった

さて、カントールは
無限小数展開を結構多用している気がする
一つは、下記カントール集合で 無限 三進展開を使う
もう一つは、カントールの対角線論法で 無限 二進数展開を使う

いずれの場合も
ここでは 極限だの収束だの へったくれを いう必要なし！

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析（英: nonstandard analysis）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
カントール集合（英: Cantor set）は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である
測度と確率
カントール集合は二進列全体の成すコンパクト群と見なせるから、自然なハール測度を備えている。カントール集合全体の測度を 1 に正規化するとき、それをコイントスの無限列のモデルとすることができる。さらに言えば、区間上の通常のルベーグ測度がカントール集合上のハール測度の像となることが示せる
ルベーグ測度論において、カントール集合は非可算な零集合の例を与える[22]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95
カントールの対角線論法
自然数の集合と[0, 1]区間の濃度の違い
[0, 1]区間の各元を
a1,a2,⋯と番号づけすることができたことになる。
aiを二進数展開したときのj桁目をai,jとし[注釈 2]、biを￢ai,iとする。
[0, 1]区間の元であるはずのbは
a1,a2,⋯のいずれとも異なるので、矛盾。 従って
Nから[0, 1]区間への全単射は存在しない。
なお、n桁に対応する元は2^n個存在するが、対角線論法においてはn桁に対して元の数をn個として議論していることには注意が必要である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/998

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