大学数学の質問スレ Part1 (393ﾚｽ)
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320: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 03:04:58.83 ID:yy3tyOmP James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』 重積分の変数変換の公式ですが、独特です。 まず、広義積分については、開集合上でしか考えていません。 ですので、非有界な積分領域での積分や非有界連続関数の積分は、積分領域が開集合である場合しか考えません。 開集合上の積分についての約束ですが、それが有界であり、かつ、被積分関数が有界連続である場合には特に断らない限り、その積分は広義積分であるという約束をしています。 変数変換の公式ですが、この公式に登場する積分は広義積分のみです。 広義積分でない積分に対しては変数変換の公式を考えません。 このようなアプローチってどうですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/320
321: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 03:07:02.06 ID:yy3tyOmP 訂正します： James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』 重積分の変数変換の公式ですが、独特です。 まず、広義積分については、開集合上でしか考えていません。 ですので、非有界な積分領域での積分や非有界連続関数の積分は、積分領域が開集合である場合しか考えません。 開集合上の積分についての約束ですが、積分領域が有界であり、かつ、被積分関数が有界連続である場合には特に断らない限り、その積分は広義積分であるという約束をしています。 変数変換の公式ですが、この公式に登場する積分は広義積分のみです。 広義積分でない積分に対しては変数変換の公式を考えません。 このようなアプローチってどうですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/321
322: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 03:14:39.28 ID:yy3tyOmP 積分領域が有界開集合であり、かつ、被積分関数が有界連続である場合、広義積分はかならず存在します。 積分領域が有界開集合であり、かつ、被積分関数が有界連続である場合、非広義積分が存在する場合には、その値は広義積分の値に一致します。 S を有界集合とし、 f を有界連続とするとき、 f が S 上で非広義積分可能であれば、 f は Int S 上で非広義積分可能であり、 S 上での非広義積分の値と Int S 上での非広義積分の値は一致するという定理もあります。 ですので、上のようなアプローチでも問題ないとしています。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/322
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