大学数学の質問スレ Part1 (318ﾚｽ)
上下前次1-新
1(3): １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 10:57:18.43 ID:MW0NRypB(1/2) AAS
無くなってたので立て直し
2(2): １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 11:02:38.42 ID:MW0NRypB(2/2) AAS
早速ですがお願いします。
M:m次元多様体
f:M→ℝ:C^∞級関数
0はfの臨界値でない
K:=f^{-1}(0):Mのm−1次元部分多様体
Kはコンパクト
このとき、
「Kのコンパクト性を使うと、十分小さい正整数εについて、[-ε,ε]はfの臨界値を含んでいないことがわかる」
と書かれているのですが、この理由がわかりません。
わかる方いらっしゃいましたら教えていただきたく存じます。
本は松本幸夫先生のMorse理論の基礎です。
また、[-ε,ε]ではなく(-ε,ε)でも問題ないです。
3: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 11:28:28.74 ID:H6nvv4tx(1/2) AAS
>>1
スレ番と過去ログつけろよ
4: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 14:03:05.47 ID:0BRlOm1U(1/3) AAS
fの微分の絶対値がK上最小値を取るけど0ではないみたいにやるんじゃね
想像だけど
5: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:14:37.61 ID:IOQ4+0EH(1/2) AAS
|
|
ーーーーーーー
↑
[-ε,ε]
0はfの臨界値でなくてKがコンパクトだから
K∩[-ε,ε]=φとなるεを頑張れば取れるってことかな…
Kは有界閉集合ってことだし…
6(3): １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:17:00.15 ID:1P739T/v(1/8) AAS
以下、あっていますよね？
Σ a_n, Σ b_n は絶対収束するとする。
c_n := a_0 * b_n + a_1 * b_{n-1} + … + a_n * b_0 とする。
Σ c_n は絶対収束し、 Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n が成り立つことを証明せよ。
証明：
A_n := Σ_{k=0}^n a_k
B_n := Σ_{l=0}^n b_l
C_n := Σ_{m=0}^n c_m
A'_n := Σ_{k=0}^n |a_k|
B'_n := Σ_{l=0}^n |b_l|
C'_n := Σ_{m=0}^n |c_m|
lim_{n→∞} A_n = A
lim_{n→∞} B_n = B
lim_{n→∞} A'_n = A'
lim_{n→∞} B'_n = B'
とする。
コーシーの収束条件より、
任意の正の実数 ε に対して、 n ≧ N ならば、ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N であるような N が存在する。
n ≧ N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n|
つまり、 lim_{n→∞} (A'_n * B'_n - C'_n) = 0
よって、 lim_{n→∞} (C'_n - A' * B') = lim_{n→∞} [(C'_n - A'_n * B'_n) + (A'_n * B'_n - A' * B')] = lim_{n→∞} (C'_n - A'_n * B'_n) + lim_{n→∞} (A'_n * B'_n - A' * B') = 0 + 0 = 0
したがって、 lim_{n→∞} C'_n = A' * B'
よって、 Σ c_n は絶対収束する。
つまり、 lim_{n→∞} (A_n * B_n - C_n) = 0
よって、 lim_{n→∞} (C_n - A * B) = lim_{n→∞} [(C_n - A_n * B_n) + (A_n * B_n - A * B)] = lim_{n→∞} (C_n - A_n * B_n) + lim_{n→∞} (A_n * B_n - A * B) = 0 + 0 = 0
したがって、 lim_{n→∞} C_n = A * B
よって、 Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n が成り立つ。
7: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:17:36.26 ID:IOQ4+0EH(2/2) AAS
0∈[-ε,ε]だよな
8: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:21:10.70 ID:1P739T/v(2/8) AAS
>>6
AI（GhatGPT, Grok, Gemini）に質問しましたが、どれも間違っているという回答でした。
あっていると思いますが、もし間違っていたら、指摘してください。
9: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:22:39.65 ID:1P739T/v(3/8) AAS
n ≧ N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n|
を
n > 2 * N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n|
に訂正します。
10: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:24:55.83 ID:1P739T/v(4/8) AAS
やはりAIはまだまだ駄目ですね。
こんな簡単なこともチェックできません。
11: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 14:35:20.28 ID:H6nvv4tx(2/2) AAS
常連の馬鹿アスペがこのスレを見つけました
12: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:44:05.81 ID:1P739T/v(5/8) AAS
ちなみに
>>6
の問題は、
堀川穎二著『複素関数論の要諦』
の宿題3に関連する問題です。
13: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:50:51.10 ID:1P739T/v(6/8) AAS
>>6
は有名なので、微分積分の教科書（例えば、松坂和夫著『解析入門』）に書いてあるのですが、
>>6
の証明とは違う証明になっています。
14: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 15:11:56.61 ID:0BRlOm1U(2/3) AAS
堀川穎二には講義中に罵倒されて鬱になったから絶対に答えてやらねー
15: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/05/26(月) 15:51:46.44 ID:uoPtX8k0(1/2) AAS
気分に重大な欠陥がないか保健センター。
16: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/05/26(月) 15:53:37.93 ID:uoPtX8k0(2/2) AAS
に学生研究生までは誘導。職員は大学病院とコネ。うつはうつる。
17: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 16:52:36.51 ID:1P739T/v(7/8) AAS
堀川穎二さんってどういう教員だったんですか？
18(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 17:31:04.20 ID:0BRlOm1U(3/3) AAS
本スレで聞け
2chｽﾚ:math
19: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 17:42:49.42 ID:1P739T/v(8/8) AAS
>>18
リンクありがとうございます。
興味深いですね。
20: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 19:31:59.60 ID:rsjnSrMv(1) AAS
「人間じゃねー」が口癖だったとか
21: １３２人目の素数さん [] 2025/05/28(水) 08:58:24.71 ID:+IqSozqY(1) AAS
堀川穎二著『複素関数論の要諦』
1 / (1 + z + z^2) をべき級数展開せよ。
「
すぐに思いつくのは 1/(1+t) = 1 - t + t^2 - … に t = z + z^2 を代入することだろう。以前に試験に出したら、 |z + z^2| < 1 を解いて、収束範囲は (-1 - √5) / 2 < z < (-1 + √5) / 2 という答案が続出した。
」
このコメントが意味不明です。
|z + z^2| < 1 を解いても、 (-1 - √5) / 2 < z < (-1 + √5) / 2 とはなりません。
東京大学の数学科に進学予定の学生ってこんなに馬鹿な人も多いんですか？
22: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/30(金) 16:08:59.81 ID:CD4cYFeO(1) AAS
口だけ番長のレベル
23: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 04:10:19.60 ID:5glNS3uF(1/4) AAS
Σ x_n を s に収束する正項級数とする。
φ: N → N を全単射とする。
Σ x_φ(n) は s に収束する。
↑は既知とする。
Σ x_n を絶対収束級数とする。
Σ x_n は収束する。
証明：
N_1 := {i ∈ N : x_i ≧ 0}
N_2 := {i ∈ N : x_i < 0}
とする。
24: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 04:10:33.88 ID:5glNS3uF(2/4) AAS
Σ_{n ∈ N_1} x_n は、正項級数だから意味を持つ。
Σ_{n ∈ N_2} x_n は、負項級数だから意味を持つ。
どちらの級数も Σ x_n が絶対収束級数だから収束する。
s_1 := Σ_{n ∈ N_1} x_n とする。
s_2 := Σ_{n ∈ N_2} x_n とする。
ε を任意の正の実数とする。
N_1 の部分集合 M_1 で、 M_1 ⊂ M ⇒ |Σ_{n ∈ M} x_n - s_1| < ε/2 となるようなものが存在する。
N_2 の部分集合 M_2 で、 M_2 ⊂ M' ⇒ |Σ_{n ∈ M'} x_n - s_2| < ε/2 となるようなものが存在する。
N_1_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i ≧ 0}
N_2_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i < 0}
とする。
M_1 ⊂ N_1_n、M_2 ⊂ N_2_n をみたすような n ∈ N が存在する。
Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i = Σ_{i ∈ N_1_n} x_i + Σ_{i ∈ N_2_n} x_i である。
|Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i - (s_1 + s_2)| ≦ |Σ_{i ∈ N_1_n} x_i - s_1| + |Σ_{i ∈ N_2_n} x_i - s_2| < ε が成り立つ。
明らかに、 n よりも大きい任意の自然数を n としたときにもこの不等式は成り立つ。
よって、 Σ x_n は収束する。
25: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 04:11:04.67 ID:5glNS3uF(3/4) AAS
↑の証明ってどうですか？
26: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 13:54:46.05 ID:5glNS3uF(4/4) AAS
一松信著『解析学序説上巻（旧版）』
べき級数の微分積分のところで、
「
f^{m}(x) = m! * a_m + (m + 1)! * a_{m + 1} * (x - a) + (1/2) * (m + 2)! * a_{m + 2} * (x - a)^2 + …
右辺の表わす函数は連続だから、 x → a とした極限は、 x = a とおいたものに等しく、 f^{m}(a) = m! * a_m となり
」
という記述があります。
間違ってはいませんが、単に
f^{m}(x) = m! * a_m + (m + 1)! * a_{m + 1} * (x - a) + (1/2) * (m + 2)! * a_{m + 2} * (x - a)^2 + …
の x に a を代入して、 f^{m}(a) = m! * a_m という結果を得ればいいのではないでしょうか？
新版でも同様の記述があります。
27: １３２人目の素数さん [sage] 2025/06/08(日) 15:20:12.10 ID:W03H1iLk(1) AAS
お前この話読むの何週目なん？一周目ではよくわからなくても２，３周したならいいかげん著者が何をいいいたいのかわからんの？
「俺天才、著者はアホ」という心で本と向き合ってるからいつまでたっても進歩できないってわからんの？
28: １３２人目の素数さん [sage] 2025/06/08(日) 18:04:25.59 ID:kV53IbjU(1) AAS
なんで、b_n := max(a_n,0)とかしないのか…
29: １３２人目の素数さん [] 2025/06/21(土) 21:07:29.06 ID:2wPjqBNk(1) AAS
どの微積の入門書を見ても有理関数の不定積分をもとめるときに部分分数分解が万能みたいに書いてるよね
例えば
∫1/(x^5-x+1) dx
とかは四則演算と冪根だけでは解けない事を明記している本ってある？
30: １３２人目の素数さん [] 2025/06/21(土) 21:55:13.51 ID:gIBPITlW(1) AAS
そんなへんな本があったら俺も見てみたい
31: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/06/21(土) 22:00:08.59 ID:wHPeXAhh(1/4) AAS
ブサイク病感染、美人欠陥障害のことだな、手際よく繁殖ならブサイク、ふたりで永遠を描くなら美人。
32: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/06/21(土) 22:06:31.18 ID:wHPeXAhh(2/4) AAS
枕草子 対象に心を惹かれるさま おかしはかわいー がブサイク、源氏物語、見めかたち美しき 美人。もののあはれ しみじみとした趣がある 両方ともいい女の女系社会の女系だ。
33: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/06/21(土) 22:07:44.30 ID:wHPeXAhh(3/4) AAS
数学ならその2つの派閥を選べば、何千年の恋をいつも争える。
34: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/06/21(土) 22:08:40.01 ID:wHPeXAhh(4/4) AAS
いつも反目してやり合ってる方々見ませんでしたか。
35(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/07(月) 19:42:29.62 ID:zF4SG0kL(1) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
「位相多様体上に微分構造が存在しても、それは‘一意的’とは限らない。微分構造が一意的でない例を初めて、しかも、7次元球面という簡単な多様体について発見したのは、」
ミルナーの論文であると書いてあります。
他の分野であれば、定義のすぐ後くらいにそのような例を挙げるみたいな展開になると思いますが、この分野ではなぜこのようなベーシックな問いに答えるのが難しいんですか？
36: １３２人目の素数さん [] 2025/07/07(月) 23:29:50.88 ID:CzNbP0RO(1) AAS
書くと長くなるんじゃないの？知らんけど
37: １３２人目の素数さん [] 2025/07/08(火) 20:49:12.05 ID:tUDIDB1h(1/2) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
2つの複素平面を張り合わせると多様体 S^2 ができると書いてあるのですが、よく分かりません。
どういうことですか？
38: １３２人目の素数さん [] 2025/07/08(火) 21:26:42.65 ID:tUDIDB1h(2/2) AAS
2枚の複素平面、z平面とw平面を貼り合わせというのは、Z平面上の各点 z と対応するW平面上の点 1/z が重なるように2枚の複素平面をくっつけるということですか？
39: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/12(土) 09:15:04.41 ID:msZtAMLK(1) AAS
>>35
他の分野ってのが簡単なだけだろ、知らんけど
40: １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 18:09:48.44 ID:6tbhKVp+(1/13) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
C^r級極大座標近傍系について質問です。
M 上の C^r 級座標近傍系で S に同値なもの全ての和集合 M = M(S) を、 S から決まる M の C^r 級極大座標近傍系という。
これが定義ですが、これって結局、
M 上の C^r 級座標近傍系で S = {(U_α, φ_α)} に、 M の開集合 V で以下の条件を満たすもの全てを付け加えたもののことですよね？
V は R^m の開集合 V' と同相。
φ : V → V' をその同相写像とする。
φ_α・φ^{-1} : φ(V ∩ U_α) → φ_α(V ∩ U_α) が C^r 級。
φ・(φ_α)^{-1} : φ_α(V ∩ U_α) → φ(V ∩ U_α) が C^r 級。
41(6): １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 18:11:11.43 ID:6tbhKVp+(2/13) AAS
訂正します：
松本幸夫著『多様体の基礎』
C^r級極大座標近傍系について質問です。
M 上の C^r 級座標近傍系で S に同値なもの全ての和集合 M = M(S) を、 S から決まる M の C^r 級極大座標近傍系という。
これが定義ですが、これって結局、
M 上の C^r 級座標近傍系 S = {(U_α, φ_α)} に、 M の開集合 V で以下の条件を満たすもの全てを付け加えたもののことですよね？
V は R^m の開集合 V' と同相。
φ : V → V' をその同相写像とする。
φ_α・φ^{-1} : φ(V ∩ U_α) → φ_α(V ∩ U_α) が C^r 級。
φ・(φ_α)^{-1} : φ_α(V ∩ U_α) → φ(V ∩ U_α) が C^r 級。
42: １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 18:15:24.36 ID:6tbhKVp+(3/13) AAS
松本さんの定義では、M 上の C^r 級座標近傍系の和集合を極大座標近傍系と定義していて少しわかりにくいです。
個々の座標近傍系を付け加えたものという定義のほうがわかりやすいと思います。
43: １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 18:23:26.33 ID:dN5b/1aD(1) AAS
おまえがバカなだけだよ
著者のせいではない
44: １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 18:38:39.76 ID:6tbhKVp+(4/13) AAS
>>41
の V が M(S) の要素かどうかという問いに対しては、 T := S ∪ {V} が S と同値であるから、 V は M(S) の要素であるという答えになります。
ですが、なんか回りくどいですよね。
45: １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 18:51:20.22 ID:6tbhKVp+(5/13) AAS
松本さんはなぜ
>>41
のような妙な定義を採用したのでしょうか？
46: １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 18:58:22.67 ID:6tbhKVp+(6/13) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
ライトノベルなどと言われることがあるそうです。
すぐに証明が思いつくような簡単な命題に非常にくどい証明を書いています。
証明を実際に読んでみるとかえって分かりにくくて、結局、思いついた証明と同じであることを確認しただけということになります。
47(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 19:23:15.49 ID:v73qHnAA(1/4) AAS
>>41
前者と後者で全然違うじゃん
ていうか後者のSどこいった？
48(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 20:28:06.24 ID:6tbhKVp+(7/13) AAS
>>47
演習問題を見てみたら、
>>41
の同値性を証明させる問題がありました。
49: １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 20:32:41.27 ID:6tbhKVp+(8/13) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
S, T, U を M の C^r 級座標近傍系とする。
S と T が同値かつ T と U が同値であるとき、 S と U は同値である。
このことの証明が書いてありません。
S から決まる M の C^r 級極大座標近傍系が実際に M の C^r 級極大座標近傍系になることを証明するには、上の推移律を使う必要があります。
50: １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 20:33:40.02 ID:6tbhKVp+(9/13) AAS
訂正します：
松本幸夫著『多様体の基礎』
S, T, U を M の C^r 級座標近傍系とする。
S と T が同値かつ T と U が同値であるとき、 S と U は同値である。
このことの証明が書いてありません。
S から決まる M の C^r 級極大座標近傍系が実際に M の一つの C^r 級座標近傍系になることを証明するには、上の推移律を使う必要があります。
51(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 20:35:00.56 ID:6tbhKVp+(10/13) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
不必要なところでは異常にくどく書くくせに、重要なことは証明しないことがある。
最悪です。
52(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:19:30.11 ID:v73qHnAA(2/4) AAS
>>48
2章§6の練習問題にそんなものはない
そもそもSが噛んでないのに同値になるわけない
53(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 21:29:38.72 ID:6tbhKVp+(11/13) AAS
>>52
演習問題6.3です。
54(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:39:22.93 ID:v73qHnAA(3/4) AAS
>>53
その問題はちゃんとSを使ってるから無関係
55: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:46:58.97 ID:0qNvtPng(1) AAS
馬鹿アスペの相手ご苦労
56: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:49:17.27 ID:ZVmDyLNq(1) AAS
こいつにこの名著が理解できるハズもない。
57: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 22:18:38.63 ID:svJwm5Qu(1) AAS
くどくど書いてあるなら飛ばせばいいだけ。
全て都合が良いように本に与えてもらおうとか赤ちゃんかよ
58: １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 22:20:45.79 ID:rAK0Q16D(1) AAS
前は学部レベルだったけど
ここは教養数学レベルスレ？
59(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 23:15:49.91 ID:6tbhKVp+(12/13) AAS
>>54
>>41
と
演習問題6.3
は同じ問題です。
>>41
をよく読んでください。
60: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 23:28:17.17 ID:v73qHnAA(4/4) AAS
>>59
どう読んでも違う
というかSは一体どこにいったんだよ
61(2): １３２人目の素数さん [] 2025/07/15(火) 23:34:07.53 ID:6tbhKVp+(13/13) AAS
>>41
S = {(U_α, φ_α)} です。
そして、
V は R^m の開集合 V' と同相。
φ : V → V' をその同相写像とする。
φ_α・φ^{-1} : φ(V ∩ U_α) → φ_α(V ∩ U_α) が C^r 級。
φ・(φ_α)^{-1} : φ_α(V ∩ U_α) → φ(V ∩ U_α) が C^r 級。
です。
62(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/16(水) 00:03:18.95 ID:narIqqDV(1/2) AAS
>>61
だからSは一体どこに行ったのよ
行方不明だろ
63(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 05:39:38.70 ID:UDjtENh4(1/3) AAS
>>62
SにSのUに対するその4行の中のVとφの組を全部付け加えたものがSを含む極大ではないかという疑問だから行方不明では無いのでは？
んで
なぜそのような書き方をしたのかって
自明だからでは？
64: １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 05:40:52.62 ID:UDjtENh4(2/3) AAS
>>62
SにSのUに対するその4行の中のVとφの組を全部付け加えたものがSを含む極大ではないかという疑問だから行方不明では無いのでは？
んで
>>61
なぜそのような書き方をしたのかって
自明だからでは？
65(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 05:46:27.72 ID:vJ8A76HI(1/7) AAS
Loring W. Tuさんの本を見たら↓の命題が補題として証明されていました。
松本幸夫著『多様体の基礎』
S, T, U を M の C^r 級座標近傍系とする。
S と T が同値かつ T と U が同値であるとき、 S と U は同値である。
このことの証明が書いてありません。
S から決まる M の C^r 級極大座標近傍系が実際に M の一つの C^r 級座標近傍系になることを証明するには、上の推移律を使う必要があります。
66(2): １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 06:00:34.93 ID:UDjtENh4(3/3) AAS
自明じゃないか
SとTが同値ってS∪TがCr級の座標近傍系であることなんでしょ？
推移律を示すにはS-T-UのVとU-T-SのWで同様のことが言えなくてはね
でもやっぱ自明か
Tが近傍系だからV∩WはTの開集合で覆われてるから
Tの開集合で分けてそこ経由で考えたらいいだけ
67: １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 08:27:35.05 ID:xyPtKy2v(1/2) AAS
>>51,65
最悪はおまえ
低知能に数学は無理
物理もあきらめろ
68: １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 09:07:46.92 ID:vJ8A76HI(2/7) AAS
>>66
確かに自明ではありますが、もっと自明な同様の命題に非常に長くくどい証明をつけています。（命題7.1の証明）
69: １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 09:14:22.92 ID:vJ8A76HI(3/7) AAS
>>66
松本さんは、本文中ではなく、節末に
S と T は同値な M の C^r 座標近傍系 ⇔ S から決まる M の C^r 級極大座標近傍系 = T から決まる M の C^r 級極大座標近傍系
という命題をわざわざ証明しています。
この命題の証明でキーとなるのは推移律ですが、その推移律は証明せずに自明のこととしています。
そして、残りの本当に自明でしかない部分を推移律を使って証明しています。
何がやりたいのか理解できません。
70: １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 11:08:35.83 ID:vJ8A76HI(4/7) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』をパラパラ見てみました。
『多様体の基礎』と比べて、内容が難しいわけではなく、説明が明晰なだけです。
『多様体の基礎』を読む理由って何かありますか？
71: １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 11:29:17.90 ID:xyPtKy2v(2/2) AAS
自分の誤りを認めず
謝りもせず
礼も言わず
掲示板を荒らすこと20年の馬鹿に
進歩なし
72: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/16(水) 11:37:50.95 ID:narIqqDV(2/2) AAS
>>63
いや、定義を下の記述で書き換えるべきってのが彼の主張だよ
こんな∀がどっかに消し飛んでる定義を書くこと自体がおかしい
73: １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 12:00:54.62 ID:vJ8A76HI(5/7) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
p.63 命題7.1の別証明
というのがありますが、既に証明した命題7.1の証明と全く同じです。
こういう無意味なことはやめてほしいです。
74: １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 12:10:42.82 ID:vJ8A76HI(6/7) AAS
松本さんは、 (f・φ^{-1})(x_1, …, x_m) を f(x_1, …, x_m) と書いたほうが分かりやすいなどと書いています。
わざわざ混乱するようなことをやっているとしか思えません。
75: １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 12:26:40.11 ID:cQ5f6qxX(1) AAS
松坂くんの書評もどきは全部このパターン
これに加えて著者への罵詈雑言でレスが完結
【自分ですぐ証明できる部分】
短い文章なら「簡潔で良いですね」
長い文章なら「説明がくどすぎます」
【自分では証明できない部分】
本を読んで理解できれば「良い本だと思います」
本を読んでも理解できなければ「何を言いたいのかわかりません」
76(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 14:21:20.75 ID:vJ8A76HI(7/7) AAS
多様体 M というのは抽象的な位相空間で捕らえ所がありません。
結局最終的には、例えば、 M が R^3 の部分集合である2次元多様体の場合などに応用したいと考えているのでしょうか？
77(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 19:53:51.50 ID:p8E4zOsa(1/2) AAS
>>76
イメージ的には開球を適切（問題意識や程度に従って）貼り合わせたものだよ
逆に開球に分けていけるようなものと考えても良い
78(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 20:02:46.57 ID:p8E4zOsa(2/2) AAS
多様体の中にいるところを想像したら分かると思うけど
まわりがR^nっぽい状況ってことね
ああそうか開球はR^nそのものと見ていいから
R^nを適切に貼り合わせたものと言えばいいのか
79(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:14:06.10 ID:CS5dgjr3(1/6) AAS
>>77-78
その説明も捕らえ所がありません。
80(2): １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:18:24.00 ID:CS5dgjr3(2/6) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
M を n 次元の位相多様体とする。
m ≠ n であるとき、 M は m 次元の位相多様体ではない。
これは非常に重要な事実だと思います。
ところが、松本さんの本にはこのことが書かれていません。
証明なしでも書くべきことだと思います。
多様体の定義のところで既に教科書として問題があります。
81: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:23:23.29 ID:CS5dgjr3(3/6) AAS
n ≠ m であるとき、 R^n の開集合 U と R^m の開集合 V は同相ではない。
この基本的な事実を示すことが既に難しいということです。
そして、位相多様体の定義では、この事実が重要です。
多様体論の最初のところで既にこのような困難があります。
82(2): １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:41:13.83 ID:CS5dgjr3(4/6) AAS
Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』
この本に以下のような説明があります。（多変数の実関数の場合に。）
f が点 a のある近傍で点 a でのテイラー級数
f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a)/2! * (x - a)^2 + … + f^{k}(a)/k! * (x - a)^k + …
に等しいとき、 f は点 p で実解析的であるという。
収束べき級数は収束円内において項別微分可能であるから、実解析的関数は必然的に C^∞ である。
これって変ですよね。
f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a)/2! * (x - a)^2 + … + f^{k}(a)/k! * (x - a)^k + …
と書いた時点で、 f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。
f が点 a のある近傍で点 a でのテイラー級数
f(x) = b_0 + b_1 * (x - a) + b_2 * (x - a)^2 + … + b_k * (x - a)^k + …
に等しいとき、 f は点 p で実解析的であるという。
と書くべきですよね。
83: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 17:38:03.31 ID:YEzC606F(1/3) AAS
>>79
あ
そ
84: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 17:41:43.60 ID:YEzC606F(2/3) AAS
>>80
各点のまわりにR^nとR^mと両方置いてみたら
両立しないことは自明に思えるはず
自明でも証明はあっていいけれど
どっちかっていうと不毛な作業
85(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/19(土) 17:43:25.69 ID:3WbaItSK(1/3) AAS
これ証明して
>f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。
86(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 18:05:51.60 ID:YEzC606F(3/3) AAS
>>82
C^∞とC^ωの違いは？
87: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/19(土) 19:29:54.71 ID:3WbaItSK(2/3) AAS
>>80
そもそもこの本は位相多様体の教科書ではない
88(2): １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 21:05:05.13 ID:CS5dgjr3(5/6) AAS
>>85
f(x) = b_0 + b_1 * (x - a) + b_2 * (x - a)^2 + … + b_k * (x - a)^k + …
は収束円内でいくらでも微分可能です。よって、 f は点 a の近傍である収束円の内部で C^∞ です。
89: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 21:13:57.51 ID:CS5dgjr3(6/6) AAS
>>86
それは有名な反例がありますよね。
x = 0 でいくらでも微分可能で、その任意階数の微分係数の値がすべて 0 であるけれども 0 の任意の近傍で恒等的には 0 にならないような関数が存在します。
この関数が x = 0 の近傍でテイラー展開可能であれば、その近傍で恒等的に 0 でなければなりません。
90(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/19(土) 21:18:26.46 ID:3WbaItSK(3/3) AAS
>>88
これを証明してよ
>f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。
91: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/20(日) 00:45:56.85 ID:POdAWOhH(1/3) AAS
この馬鹿こんな簡単な文章も理解できんのか。
92(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 01:27:50.94 ID:QfhTigbA(1/3) AAS
>>90
自明ですよね。
f は点 a で任意階の微分係数をもつとする。
k を任意の自然数とする。
f は点 a で k + 1 階の微分係数をもつので、点 a の近傍で f の第 k 階の導関数が存在する。
したがって、 f は C^∞ である。
93(2): １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 01:29:00.43 ID:QfhTigbA(2/3) AAS
>>90
自明ですよね。
f は点 a で任意階の微分係数をもつとする。
k を任意の自然数とする。
f は点 a で k + 1 階の微分係数をもつので、点 a の近傍で f の第 k 階の導関数が存在する。
したがって、 f は点 a の近傍で C^∞ である。
94: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/20(日) 02:45:43.12 ID:ryVuvhht(1) AAS
>>82
ある点で微分可能と近傍で微分可能の違いすら分からないのかよwww
馬鹿すぎるだろwwww
95: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/20(日) 02:47:56.67 ID:Q/QxpLXs(1) AAS
>>92
思い込みと証明の区別がついてないwww
96: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 03:59:46.59 ID:MKMFqF1/(1) AAS
>>93
それらの近傍はkに依存するかもしれない
97(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/20(日) 07:06:27.19 ID:POdAWOhH(2/3) AAS
収束べき級数は収束円内において項別微分可能であるから、実解析的関数は必然的に C^∞ である。
f がある点で実解析的
→収束円内のすべての点で何回でも項別微分可能
→収束円内のすべての点で C^∞
なんでこんなことわからないのかがわからん
「俺以外の人間はバカだから当たり前のことをしかも変な文章で書いていい気になってる」
とでも考えてるんやろな。
98: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/20(日) 07:13:41.14 ID:n3B3EMBb(1) AAS
>>93
その最後のaの近傍はいくつ？
99(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 11:35:39.87 ID:QfhTigbA(3/3) AAS
>>97
それは
>>88
に書いたことです。
100(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 19:14:01.22 ID:cOZ+oUY1(1) AAS
たまにネット見てる引退済みの老人ですよ。
関数fが一点で無限回微分可能でも、近傍でC^{\infty}にはならない例はあったと思う。
易しくはないかな。大昔、大きな大学でも数学の修士院生を数名しか取れなかった時代、
強烈な倍率のあった院試で、例をあげて院試で聞いたことがあった。
関数fが解析的なら、収束半径>0なことを暗黙の内に仮定してて、それなら近傍まで
滑らか(解析的)と考えるくらいでいいかな。
子供の頃から、五月蠅く細かい話を言わない現在となっては、
分からなくても良いと思うよ。真面目に勉強して数学者になりたいのかな。
現在、日本の殆どの数学専攻の学生にとって、
老婆心ながら、純粋数学はオワコンだと思ってるよ。
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