大学数学の質問スレ Part1 (282ﾚｽ)
大学数学の質問スレ Part1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/
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108: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 07:20:57.73 ID:FNiifGED それだと全ての点でC^∞ 話題に上がってるのは x=0 で無限回微分可能だけど x=0 が { a | f は x=a で無限回微分可能ではない } の閉包に入る例。>>104 で行ける http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/108
110: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 07:57:55.79 ID:FNiifGED じゃあ全然だめ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/110
113: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:11:26.64 ID:FNiifGED だから話の流れで求められてるものじゃない >>108で書いてるやつがもとめられててすでに答えが>>104ででてる。 なのに求められてる条件満たさない例あげてなにがしたいん？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/113
114: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:12:57.65 ID:FNiifGED >>112 exp(-1/x^2) は原点以外のとこでは明らかに無限回微分できるやろ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/114
116: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:47:25.69 ID:FNiifGED >>115 だから>>107の例は原点以外全部無限回微分できるやん？どっか無限回微分できないとこあるん？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/116
119: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:48:46.05 ID:FNiifGED exp(x)はすべてのxで無限回微分できるよな？ -1/x^2は原点以外のすべての点で無限回微分できるよな？ じゃあ合成しても原点以外のすべての点で無限回微分できるよな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/119
120: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:49:13.68 ID:FNiifGED ああ、Qか、すまん。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/120
123: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:56:26.19 ID:FNiifGED >>122 ああ、すまん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/123
127: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 12:05:05.91 ID:FNiifGED 結局>>107は不連続な点が稠密に発生するから原点回りで f'(x) が定義できない点が無限に発生して原点での 2 回目の微分すら存在しない。ので求められてる条件みたしてない。補正すれば >>108 の条件満たすように直せるかもしれんけどこのままじゃだめですな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/127
148: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 21:24:41.72 ID:FNiifGED n 回導関数の属が一様可積分なんだからいけるでしょ。 f[N](x) := Σ[n≦N]1/n! |x-1/n|^(n) として f[N](x) は |x|<1/n において n 回微分可能。 f⁽ⁿ⁾[N](x) は一様有界関数族である gₙ(x) に各点収束する。すなわち f⁽ⁿ⁾[N](x) → gₙ(x)、f⁽ⁿ⁻¹⁾[N](x) → gₙ₋₁(x)、関数族は一様可積分 だから gₙ₋₁(x)' = gₙ(x)。∴ f(x) = g₀(x) は |x|<1/n において n 回微分可能。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/148
149: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 22:27:56.02 ID:FNiifGED こんなかんじかな？ t := x^(2/n)、z := ty/x とおいて与式は (z-ta_1)...(z-ta_n) = 1...① となる。z が t のべき級数としてえられるべき級数解をかんがえる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/149
150: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 22:28:08.57 ID:FNiifGED まずℂ[[t]] での解を考える。z(0) = 1 である。z⁽ⁿ⁾(0) まで決まってそれが a の多項式でかけているとする。 ①の対数微分より (z’-a_1)/(z-ta_1)+...+(z’-a_n)/(z-ta_n) = 0 であるからn階微分して http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/150
151: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 22:28:28.32 ID:FNiifGED ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ + ... + ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ = 0 ここに t = 0 を代入すると (1/( z-ta_i ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ の分母にでてくる式は ( z-ta_i )) のべきであり t=0 のとき 1 である。よって結果は nz⁽ⁿ⁺¹⁾(0) + (z⁽ᵏ⁾(0) と a の多項式) = 0 の形である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/151
152: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 22:28:33.23 ID:FNiifGED よって帰納的に z⁽ⁿ⁾(0) は a の多項式でかける。さらに展開にあらわれる項の数は n の指数オーダーより小さいから得られる z⁽ⁿ⁾(0) の大きさは高々 n の指数オーダーでおさえられるから得られる級数は 0 でない収束半径をもつ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/152
153: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 22:28:46.36 ID:FNiifGED 細かいとこあってないかも http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/153
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