大学数学の質問スレ Part1 (282ﾚｽ)
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79(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:14:06.10 ID:CS5dgjr3(1/6) AAS
>>77-78
その説明も捕らえ所がありません。
80(2): １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:18:24.00 ID:CS5dgjr3(2/6) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
M を n 次元の位相多様体とする。
m ≠ n であるとき、 M は m 次元の位相多様体ではない。
これは非常に重要な事実だと思います。
ところが、松本さんの本にはこのことが書かれていません。
証明なしでも書くべきことだと思います。
多様体の定義のところで既に教科書として問題があります。
81: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:23:23.29 ID:CS5dgjr3(3/6) AAS
n ≠ m であるとき、 R^n の開集合 U と R^m の開集合 V は同相ではない。
この基本的な事実を示すことが既に難しいということです。
そして、位相多様体の定義では、この事実が重要です。
多様体論の最初のところで既にこのような困難があります。
82(2): １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:41:13.83 ID:CS5dgjr3(4/6) AAS
Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』
この本に以下のような説明があります。（多変数の実関数の場合に。）
f が点 a のある近傍で点 a でのテイラー級数
f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a)/2! * (x - a)^2 + … + f^{k}(a)/k! * (x - a)^k + …
に等しいとき、 f は点 p で実解析的であるという。
収束べき級数は収束円内において項別微分可能であるから、実解析的関数は必然的に C^∞ である。
これって変ですよね。
f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a)/2! * (x - a)^2 + … + f^{k}(a)/k! * (x - a)^k + …
と書いた時点で、 f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。
f が点 a のある近傍で点 a でのテイラー級数
f(x) = b_0 + b_1 * (x - a) + b_2 * (x - a)^2 + … + b_k * (x - a)^k + …
に等しいとき、 f は点 p で実解析的であるという。
と書くべきですよね。
88(2): １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 21:05:05.13 ID:CS5dgjr3(5/6) AAS
>>85
f(x) = b_0 + b_1 * (x - a) + b_2 * (x - a)^2 + … + b_k * (x - a)^k + …
は収束円内でいくらでも微分可能です。よって、 f は点 a の近傍である収束円の内部で C^∞ です。
89: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 21:13:57.51 ID:CS5dgjr3(6/6) AAS
>>86
それは有名な反例がありますよね。
x = 0 でいくらでも微分可能で、その任意階数の微分係数の値がすべて 0 であるけれども 0 の任意の近傍で恒等的には 0 にならないような関数が存在します。
この関数が x = 0 の近傍でテイラー展開可能であれば、その近傍で恒等的に 0 でなければなりません。
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