大学数学の質問スレ Part1 (318ﾚｽ)
上下前次1-新
98: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/20(日) 07:13:41.14 ID:n3B3EMBb(1) AAS
>>93
その最後のaの近傍はいくつ？
99(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 11:35:39.87 ID:QfhTigbA(3/3) AAS
>>97
それは
>>88
に書いたことです。
100(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 19:14:01.22 ID:cOZ+oUY1(1) AAS
たまにネット見てる引退済みの老人ですよ。
関数fが一点で無限回微分可能でも、近傍でC^{\infty}にはならない例はあったと思う。
易しくはないかな。大昔、大きな大学でも数学の修士院生を数名しか取れなかった時代、
強烈な倍率のあった院試で、例をあげて院試で聞いたことがあった。
関数fが解析的なら、収束半径>0なことを暗黙の内に仮定してて、それなら近傍まで
滑らか(解析的)と考えるくらいでいいかな。
子供の頃から、五月蠅く細かい話を言わない現在となっては、
分からなくても良いと思うよ。真面目に勉強して数学者になりたいのかな。
現在、日本の殆どの数学専攻の学生にとって、
老婆心ながら、純粋数学はオワコンだと思ってるよ。
101: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/20(日) 19:19:11.75 ID:22mJ/gC/(1) AAS
年寄りの冷や水
102: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 19:24:14.12 ID:N157az0Y(1/2) AAS
「オワコン」とは、「終わったコンテンツ」の略で、流行が過ぎ去り、多くの人の興味を引かなくなったコンテンツを指します。主にアニメや漫画、ゲームなどのサブカルチャーに使われますが、ファッションや音楽など、さまざまなジャンルにも適用されることがあります。ネガティブな意味合いを持つこの言葉は、特に人気があったものが飽きられた際に使われることが多いです。
103: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 19:26:08.86 ID:N157az0Y(2/2) AAS
ヒパチアが殺されてからルネサンスまで
西洋では数学はオワコンだった
104(4): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/20(日) 20:42:58.25 ID:n17RkDCH(1) AAS
そんなに難しいか？
|x-1/k|^kを適度な係数で足し合わせればいいんじゃないの？
105: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/20(日) 20:46:12.94 ID:POdAWOhH(3/3) AAS
>>99
まだわからんのか能なし。もう消えろゴミ
106: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/20(日) 22:11:33.52 ID:01A+kgWh(1) AAS
死ぬほど難しくはないけど、院試の面接で出したら鬼だな
107(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 05:57:27.39 ID:Y5n8TluJ(1) AAS
>>100
exp(-1/x^2) (x not in Q)
0 (x in Q)
とかでよいのでは？
108(4): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 07:20:57.73 ID:FNiifGED(1/15) AAS
それだと全ての点でC^∞
話題に上がってるのは x=0 で無限回微分可能だけど x=0 が { a | f は x=a で無限回微分可能ではない } の閉包に入る例。>>104 で行ける
109: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 07:32:22.11 ID:l1OzVRQ7(1/3) AAS
>>108
>それだと全ての点でC^∞
x≠0で不連続よ
110: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 07:57:55.79 ID:FNiifGED(2/15) AAS
じゃあ全然だめ
111: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:07:23.70 ID:zKS37biS(1/7) AAS
原点で無限回微分できるだろ
112(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:09:51.53 ID:zKS37biS(2/7) AAS
>>108
微分可能は原点のみで、原点では無限回微分可能で満たしてるだろ
113: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:11:26.64 ID:FNiifGED(3/15) AAS
だから話の流れで求められてるものじゃない
>>108で書いてるやつがもとめられててすでに答えが>>104ででてる。
なのに求められてる条件満たさない例あげてなにがしたいん？
114(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:12:57.65 ID:FNiifGED(4/15) AAS
>>112
exp(-1/x^2) は原点以外のとこでは明らかに無限回微分できるやろ？
115(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:45:59.88 ID:zKS37biS(3/7) AAS
>>114
で？
もしかして107読めないのかよ
116(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:47:25.69 ID:FNiifGED(5/15) AAS
>>115
だから>>107の例は原点以外全部無限回微分できるやん？どっか無限回微分できないとこあるん？
117: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:47:46.77 ID:zKS37biS(4/7) AAS
>>115
適当な係数で足し合わせ面倒だから微積の初歩みたいな関数の例上げただけなのに意味すら通じないとはwwww
118: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:48:41.39 ID:zKS37biS(5/7) AAS
>>116
原点以外不連続なのに微分できるのかよ
119(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:48:46.05 ID:FNiifGED(6/15) AAS
exp(x)はすべてのxで無限回微分できるよな？
-1/x^2は原点以外のすべての点で無限回微分できるよな？
じゃあ合成しても原点以外のすべての点で無限回微分できるよな？
120(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:49:13.68 ID:FNiifGED(7/15) AAS
ああ、Qか、すまん。
121: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:49:29.65 ID:zKS37biS(6/7) AAS
>>119
107読めないのかよwww
122(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:49:48.22 ID:zKS37biS(7/7) AAS
>>120
今頃？
123: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 09:56:26.19 ID:FNiifGED(8/15) AAS
>>122
ああ、すまん
124: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 11:30:17.14 ID:+XuY0woP(1/5) AAS
>>114
1回しか出来ないよｗ
125: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 11:31:23.13 ID:+XuY0woP(2/5) AAS
ああ言い間違い
原点でも1回しか微分できないよ
126: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 11:32:42.63 ID:+XuY0woP(3/5) AAS
>>112
こっちにレスするつもりで
127: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 12:05:05.91 ID:FNiifGED(9/15) AAS
結局>>107は不連続な点が稠密に発生するから原点回りで f'(x) が定義できない点が無限に発生して原点での 2 回目の微分すら存在しない。ので求められてる条件みたしてない。補正すれば >>108 の条件満たすように直せるかもしれんけどこのままじゃだめですな。
128(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 12:54:37.90 ID:fw99j+XX(1/2) AAS
そもそも一点で微分可能とはその点のある開近傍で微分可能を意味するもんだろ
129: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 13:01:57.43 ID:+XuY0woP(4/5) AAS
x^2sin(1/x)みたいなのもあるしなあ
130(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 14:53:33.43 ID:EG4WjVZR(1/8) AAS
>>128
関数 f がある点 a で、 C^k 級というとき、 f は点 a の近傍で C^k 級という意味ですが、
ある点で微分可能というのは単にその点で微分可能というだけのことですよね。
131(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 14:58:16.35 ID:EG4WjVZR(2/8) AAS
f が点 a で任意階の微分係数をもつとしても、 f は点 a の近傍で C^∞ でないことがある。
この例を挙げてください。
132: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/07/21(月) 14:58:27.40 ID:G4mILYCT(1/2) AAS
生物科に行って医者になるなら微分もいいかもな。しかし積分にはひと気が無い。たまたま違う過程になって積分から被害出さなかったのは運。
133: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/07/21(月) 14:59:40.78 ID:G4mILYCT(2/2) AAS
誰か継いでくれるかも淡き希望か。
134: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 15:02:24.54 ID:+XuY0woP(5/5) AAS
>>131
>>104は？
いずれにしよ
存在するなら例
存在しないなら証明が必要だよ
135: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 16:10:12.81 ID:fw99j+XX(2/2) AAS
>>130
馬鹿アスペは気にするな
136(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 17:24:39.04 ID:EG4WjVZR(3/8) AAS
>>104
具体的に書いてください。
137(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 17:29:08.66 ID:S8ic7p3i(1/3) AAS
>>136
わいが104だが、Σ1/k! |x-1/k|^kでいけるんじゃないの
細かい確認は何もしてないけど
138(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 20:16:22.41 ID:EG4WjVZR(4/8) AAS
>>137
その関数を f とする。
f : R → R は、 x = 1 で微分できない。
f' : (-∞, 1) → R はどこでも微分できる。
f'' : (-∞, 1) → R はどこでも微分できる。
以下同様
139: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 20:26:05.01 ID:S8ic7p3i(2/3) AAS
>>138
証明して
>f'' : (-∞, 1) → R はどこでも微分できる。
140: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 20:35:46.48 ID:EG4WjVZR(5/8) AAS
k が奇数のときに、 |x - 1/k|^k を k - 1 回微分すると 1/k で微分できないですね。
141: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 20:37:06.33 ID:EG4WjVZR(6/8) AAS
k が奇数のときに、 |x - 1/k|^k の第 k - 1 次導関数は、 x = 1/k で微分できないですね。
142: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 20:38:31.59 ID:S8ic7p3i(3/3) AAS
そうだよ
143(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 20:46:08.73 ID:EG4WjVZR(7/8) AAS
f は (-∞, 1) で微分できる。
f^(2) は (-∞, 1/3) で微分できる。
f^(4) は (-∞, 1/5) で微分できる。
f^(6) は (-∞, 1/7) で微分できる。
…
f は原点でいくらでも微分できるが、原点の近傍で C^∞ ではない。
そういうアイディアですか。
144: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 20:49:31.63 ID:l1OzVRQ7(2/3) AAS
>>143
やっと気づいたの？
145: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 20:52:11.89 ID:EG4WjVZR(8/8) AAS
微分積分の本に、多変数実関数のテイラー展開ってなんで書かれていないんですか？
小平邦彦さんの本には少し書いてありますが分かりにくいです。
146: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 21:01:19.56 ID:l1OzVRQ7(3/3) AAS
ただ
微分可能を言うには項別微分可能つまり一様収束してる必要があると思うけど
べき乗に符号付けたぐらいのものだからすぐ言えるのかな
147(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 21:18:38.02 ID:lprS0dfP(1/2) AAS
上野代数幾何入門p194に
xとyの２変数多項式
(y-a_1 x)…(y-a_n x)-x^(n-2) (a_1,,,a_n は 複素数)
の根が
y=x (x^(-2/n)-b/n+ c_1 x^(2/n) +c_2 x^(4/n)+c_3 x^(6/n)+…)
(ここでb=-(a_1+…+a_n) ，c_1,,,c_n は複素数)
という形になると書いてあるのですが、
なぜそうなるかがわかりません
148: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 21:24:41.72 ID:FNiifGED(10/15) AAS
n 回導関数の属が一様可積分なんだからいけるでしょ。
f[N](x) := Σ[n≦N]1/n! |x-1/n|^(n) として f[N](x) は |x|<1/n において n 回微分可能。 f⁽ⁿ⁾[N](x) は一様有界関数族である gₙ(x) に各点収束する。すなわち
f⁽ⁿ⁾[N](x) → gₙ(x)、f⁽ⁿ⁻¹⁾[N](x) → gₙ₋₁(x)、関数族は一様可積分
だから gₙ₋₁(x)' = gₙ(x)。∴ f(x) = g₀(x) は |x|<1/n において n 回微分可能。
149: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 22:27:56.02 ID:FNiifGED(11/15) AAS
こんなかんじかな？
t := x^(2/n)、z := ty/x とおいて与式は
(z-ta_1)...(z-ta_n) = 1...①
となる。z が t のべき級数としてえられるべき級数解をかんがえる。
150: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 22:28:08.57 ID:FNiifGED(12/15) AAS
まずℂ[[t]] での解を考える。z(0) = 1 である。z⁽ⁿ⁾(0) まで決まってそれが a の多項式でかけているとする。 ①の対数微分より
(z’-a_1)/(z-ta_1)+...+(z’-a_n)/(z-ta_n) = 0
であるからn階微分して
151: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 22:28:28.32 ID:FNiifGED(13/15) AAS
ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ + ... + ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ = 0
ここに t = 0 を代入すると (1/( z-ta_i ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ の分母にでてくる式は ( z-ta_i )) のべきであり t=0 のとき 1 である。よって結果は nz⁽ⁿ⁺¹⁾(0) + (z⁽ᵏ⁾(0) と a の多項式) = 0 の形である。
152: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 22:28:33.23 ID:FNiifGED(14/15) AAS
よって帰納的に z⁽ⁿ⁾(0) は a の多項式でかける。さらに展開にあらわれる項の数は n の指数オーダーより小さいから得られる z⁽ⁿ⁾(0) の大きさは高々 n の指数オーダーでおさえられるから得られる級数は 0 でない収束半径をもつ。
153: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 22:28:46.36 ID:FNiifGED(15/15) AAS
細かいとこあってないかも
154: １３２人目の素数さん [] 2025/07/21(月) 22:46:16.08 ID:lprS0dfP(2/2) AAS
凄い
素早いレスありがとうございます！
ちょっとたどってみます
155: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/22(火) 07:54:12.99 ID:CbEnPq4B(1) AAS
後半の収束半径の話はだめかもしれない。
t に関して正則になる証明は普通に Newton Raphson のほうがいいみたい。
----
fₜ (z) = ( z - taₙ )...( z - taₙ) - 1
Pₜ(z) = z - fₜ (z)/(∂fₜ/∂z)(z)
z₁(t) = 1, zₖ₊₁(t) = Pₜ(zₖ(t))
とおく。P₀(z) = z - ( zⁿ - 1 )/nzⁿ⁻¹、P₀’(1) = 0 だから十分小さい R,T を任意の |z-1|<R, |t|<T に対して |Pₜ’(z)| < 1/2 が満たされるようにとれる。よって |t|<T のとき列 (zₖ(t)) は |z-1|<R において一様に収束し lim zₖ(t)) は t について正則である。
156(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/22(火) 16:33:51.46 ID:bi/mtvKn(1) AAS
何を議論してのかわからん、爺の蘊蓄か
157: １３２人目の素数さん [] 2025/07/22(火) 17:54:01.35 ID:XdxqJpaH(1) AAS
>>156
>>147
158: １３２人目の素数さん [] 2025/07/22(火) 18:17:07.87 ID:3z8X5+3w(1) AAS
分からない議論がそうだったことが多い？
159: １３２人目の素数さん [] 2025/07/25(金) 22:54:29.29 ID:3T0T5wgB(1) AAS
「AならばB」は、if A then B より B if A とするほうが自然ですか？
160: １３２人目の素数さん [] 2025/07/25(金) 23:13:58.39 ID:XzsPzp2P(1) AAS
not A or Bかな
161: １３２人目の素数さん [] 2025/07/26(土) 16:56:01.24 ID:5Tx1q8wa(1/2) AAS
例えば、いきなりTuさんの多様体論の本や松本さんの多様体論の本を読むのと、SpivakさんやMunkresさんの多様体上の微分積分の本を読むのではどちらがおすすめですか？
162: １３２人目の素数さん [] 2025/07/26(土) 17:37:11.72 ID:UMxclgow(1/2) AAS
何でも良いと思います
163(3): １３２人目の素数さん [] 2025/07/26(土) 17:48:34.88 ID:/Z199esI(1/4) AAS
SQLで数独を解いています
1～9の数字が重複しないようにデータを
作成し用意します(362880行)
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,2,3,4,5,6,7,9,8
1,2,3,4,5,6,8,7,9
・
・
9,8,7,6,5,4,3,2,1
この行を組み合わせて数独を解く際、
タテの列の合計が45
各ボックスの合計が45
であれば解が完成と見なせるでしょうか？
元ネタ
https://note.com/brian0724/n/n4447ad17573a
では、各列、各ボックスを厳密に見てます
・各列の値は重複しない
・各ボックス内の値は重複しない
が、そこまでしなくていいような？
164: １３２人目の素数さん [] 2025/07/26(土) 18:01:21.41 ID:/Z199esI(2/4) AAS
例えば、ある列が
1
1
3
4
5
6
7
9
9
の場合でも列合計が45になるのだから
ダメに決まってるような気もするし、
その場合ボックス合計が45にならない？
（つまり列とボックスが各計45ならよい）
気もします
165: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/26(土) 18:10:40.61 ID:kngNR0q7(1) AAS
>>163
よせでやれ
166: １３２人目の素数さん [] 2025/07/26(土) 18:36:24.54 ID:5Tx1q8wa(2/2) AAS
例えば、いきなりTuさんの多様体論の本や松本さんの多様体論の本を読むのと、SpivakさんやMunkresさんの多様体上の微分積分の本を読むのではどちらがおすすめですか？
なんかSpivakさんの本やMunkresさんの本の多様体の部分よりもより抽象的なTuさんの本のほうが分かりやすいように感じます。
167: １３２人目の素数さん [] 2025/07/26(土) 21:30:15.55 ID:UMxclgow(2/2) AAS
何でもよいと思います
168: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/26(土) 22:35:39.78 ID:QYGwtTdO(1/2) AAS
１２３４５６７８９
４５６７８９１２３
７８９１２３４５６
３１２６４５９７８
６４５９７８３１２
９７８３１２６４５
２３１５６４８９７
５６４８９７２３１
８９７２３１５６４
桶
１①３４⑥６７８９
４⑥６７⑦９１２３
７８９１２３４５６
３１２６４５９７８
６４５９７８３１２
９７８３１２６４５
２３１５６４８９７
５６４８９７２３１
８９７２３１５６４
ダメだけど足して４５のみ
169: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/26(土) 22:52:34.55 ID:QYGwtTdO(2/2) AAS
②①３４５６７８９
⑤④６７８９１２３
７８９１２３４５６
①③２６４５９７８
６４５９７８３１２
９７８３１２６４５
２３１５６４８９７
５６４８９７２３１
８９７２３１５６４
さらに１～９まで全部９個ずつ、縦横全ブロック45だけどダメ
170: 163 [sage] 2025/07/26(土) 23:01:49.54 ID:/Z199esI(3/4) AAS
ありがとうございます
あらかじめ、ダブりのない
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,2,3,4,5,6,7,9,8
1,2,3,4,5,6,8,7,9
・
・
9,8,7,6,5,4,3,2,1
の362880行（横方向）のデータを
テーブルに用意しておき、
行についてはそこから取ってきます
（数独の完成形は、362880行から9行選んだもの）
ですから168の
１①３４⑥６７８９
４⑥６７⑦９１２３
という行はありえないんです
169は、解としてはokなのでは
171: 163 [sage] 2025/07/26(土) 23:36:15.59 ID:/Z199esI(4/4) AAS
よく見たら、169は
タテヨコボックスすべて合計45ですが
1列目と2列目、数字のダブりがありますね
というわけで、私の仮説は完敗でした
（合計45方式だとSQL文をおもいっきり簡単にできるんです）
172(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 11:56:05.93 ID:l07VtkZb(1/3) AAS
V を n 次元ベクトル空間とする。
V* を V の双対空間とする。
a1, …, an を V* の基底とする。
ai(vi) = 1 for i ∈ {1, …, n}
ai(vj) = 0 for i, j ∈ {1, …, n} such that i ≠ j
となるような V の基底 v1, …, vn が存在することを V と V* の双対性を使わずに証明せよ。
173: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 11:58:13.80 ID:l07VtkZb(2/3) AAS
双対という考え方が重要であることが分かるいい問題ですかね？
174: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 12:49:10.77 ID:1NymgaJg(1) AAS
>>172
(ai(vj)(cj)=0
(ai(Σvjcj))=0
Σcjvj=0
cj=0
rank(ai(vj))=n
(ai(vj))(bjk)=(eik)
(ai(Σvjbjk))=(eik)
wk=Σvjbjk
175(2): １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 17:07:40.09 ID:6gFXRl6Z(1/4) AAS
>>2
それ本当？
何ページに書いてあるの？
176: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 18:16:33.30 ID:l07VtkZb(3/3) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
p.62 「以後、 (U, φ) という定式化から来る煩わしさを避けるため、 (U, φ) には上のようにして、局所座標系 (x_1, x_2, …, x_m) が描かれていると考えることにしよう。」
↑これがこの本の最大の欠点だと思います。
φ をちゃんと陽に使って説明したほうがクリアで分かりやすいはずです。
177: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 19:21:52.54 ID:w+91Ip6O(1/3) AAS
>>175
これ成り立たないの？
普通に成り立ちそうだけど
178: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 20:29:56.41 ID:dnfSDs4w(1/3) AAS
ヨコだけど |x| を原点との距離として
f(x) = -4exp(-2|x|^4) + 2exp(-|x|^2) + cos(|x|^2) exp(-|x|^2)
とかでだめだと思う。f(x) = 0 となるのは |x| = 0.86.. ぐらいだけど f^(-1)((-ε,ε)) となる x は |x| がいくらでも大きいところまで続いてしかも増減を無限にくりかえす。
179(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 20:35:30.96 ID:dnfSDs4w(2/3) AAS
まぁ M 本体そのものがコンパクトなら反例はないけど。どうせメインはその仮定はいるから筆が滑っただけだとは思う。
180: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 20:39:31.60 ID:6gFXRl6Z(2/4) AAS
f(x)の臨界値が0に集積する場合とか無いのか？
x*sin(1/x)の様に0の近くで激しく振動するばあいとか
181(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 20:45:03.73 ID:6gFXRl6Z(3/4) AAS
>>175
>>179が言うように、Mがコンパクトとか何か良い仮定が無いとダメだと思う
182: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 21:13:26.81 ID:w+91Ip6O(2/3) AAS
たしかに
183: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 21:44:43.81 ID:w+91Ip6O(3/3) AAS
Mがコンパクトのときは、背理法使うと臨界点の列p_nでKの点pに収束するものが取れるけど、pの近傍には臨界点ないから矛盾するな
もうちっと丁寧にやりたいな…
184(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 22:06:28.28 ID:VBdwsvAc(1) AAS
数列{a[n]}wo、a[1]=a(>1), a[n+1]=S[n]/(S[n]-1) (n=1,2,3,…)_で定めます。ただし
S[n]=a[1]+…+a[n] です。
このとき n→∞ のとき a[n]→1に収束すると思うんですがどう示せますか。
また、a[n]-1 はどのくらいのレベルで0に近づきますか。
185(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 22:11:07.36 ID:6gFXRl6Z(4/4) AAS
>>181だけど、>>2は「関数fがモース関数」という仮定が抜けていると思われる。
モース理論をするなら、モース関数という仮定が無いとダメだろう。
モース関数なら、臨界点は孤立するから、集積するようなことが起こらない。
186(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 22:42:50.58 ID:dnfSDs4w(3/3) AAS
モース関数でもだめでしょ。
いくらでも小さい値の臨界値をもつが、M 本体がコンパクトでもなんでもなければ P_n で臨界値、| f(P_n) | < 1/n、 lim P_n は無限遠点に逃げていくモース関数の例なんていくらでもありそうな。
187: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 10:56:03.30 ID:w6CEDhLN(1/2) AAS
Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』
germというのが出てきますが、なぜこれを考える必要があるんですか？
実際、Tuさん自身も v 方向の方向微分を点 p の近傍で C^∞ であるような関数 f に対しては定義していますが、germの元に対しては定義していません。
ですが、突然、germの元に対して、その v 方向の方向微分を対応させる関数を考えています。
もちろん代表元を使って定義するというのは分かるのですが、正式には定義していません。
これはgermという概念が不要であることを意味しませんか？
例えば、 Z/(m*Z) という環など知らなくても、modだけで十分な場合が多いですよね。
Z/(m*Z) が体になるのは m が素数のときであるとかいう場合には、 Z/(m*Z) という概念が必要になると思いますが。
188: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 12:59:50.99 ID:w6CEDhLN(2/2) AAS
Tuさんは都合の良いときにだけ、同値類として扱います。
189: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 13:21:35.24 ID:rsmqEGIP(1) AAS
>>184 定義からつねにa[n]>1だからS[n]→∞。
なので a[n+1]=S[n]/(S[n]-1)=1/(1-1/S[n])→1 (n→∞)であきらか。
190: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 13:58:38.39 ID:b3lcNN0d(1/3) AAS
>>185-186
つまり、M:コンパクト、f:モース関数と2つ仮定しないと成り立たないんですね
191: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/28(月) 15:09:55.79 ID:BO4Bo9lp(1/2) AAS
モース関数はいらなくない？
本にはコンパクトでモース関数だと臨界点は有限個ってもっと強いこと書いてあるよ
192(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/28(月) 15:17:09.50 ID:BO4Bo9lp(2/2) AAS
モース関数の定義にf^-1((-∞,a])がコンパクトが入ってるから、この問題だとモース関数だけでよくないかな
f^-1((-∞,1])がコンパクトだから、Mがコンパクトなのとたいして変わらなさそう
193: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 16:21:50.73 ID:b3lcNN0d(2/3) AAS
>>192
通常、モース関数の定義は「臨界点がすべて非退化」だけだと思う。
もし、f^-1((-∞,a])がコンパクトも仮定するなら、Mのコンパクト性ははずせるが、特殊な定義の様に思う。
194: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 16:23:50.29 ID:b3lcNN0d(3/3) AAS
退化した臨界点も許すボット式モース理論もあるが、私はよう知らん
195(1): １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 21:26:34.65 ID:Oyr8TCkw(1) AAS
初歩的な質問ですがお願いします
杉浦さんの解析学入門Ⅰで実数の公理として17個の性質を挙げています
その実数から自然数、整数、有理数を構成しています
この公理を満たす物が存在するかどうか分からないので、厳密に実数を定義するなら自然数の定義から始めないといけないというのをネットで見かけます
自然数の定義にしろ前述の実数の定義にしろ、公理だからそこに疑問を持つ必要はないのではと思います
196: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 22:05:33.50 ID:hIzCVexn(1) AAS
>>195
よく分からんけど
実数の公理とやらで
我々の知る実数がそのモデルになるんじゃ無いの？
んでその公理を満たす集合が先に出来て
そこからその部分集合として自然数とかを定義するのは
そうおかしくもないような
197: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/28(月) 22:43:27.58 ID:YuDI7wQm(1) AAS
べつに実数の公理を定めてそこからスタートしてもいいよ。
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