面白い数学の問題おしえて～な 44問目

面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (397ﾚｽ)
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1(5): １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/01(木) 12:31:40.74 ID:gmHMkXUG(1) AAS
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨

前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 43問目
2chｽﾚ:math

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

298: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:53:30.77 ID:fZOAs2Xe(10/11) AAS
(∵ ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≦ n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 より n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 ≦ n-n₀ であれば十分だが、これは 1+n₀ ≦ β₁(G₀) + n と同値である。これが成立しないのは n₀ = n、β₁(G₀) = 0 の場合のみである。しかしこのときは C = ∅ とすればよい。) よって A = A₀∪C、B = B₀∪C とすればよい。
以上により #S₁ = 0 である最小反例はない。

299(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:53:49.19 ID:fZOAs2Xe(11/11) AAS
#S₁ > 0 とする。s₀ ∈ S₁ をえらんで f(s₀) = {w₀} とおく。S’ = S＼{s₀}、W’ = W＼{w₀} とし f’(s) = f(s)＼{w₀} とする。W が最小反例だから W’ の相異なる部分集合 A’,B’ で
(1) #A’ = #B’ = ⌈ #W’/2 ⌉
(2) S(A’) = S(B’)
となるものがとれる。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ なら A = A’、B = B’ とすれば S(A) = S(A’)、S(B) = S(B’) となり矛盾する。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ - 1 なら A = A’∪{w₀}、B = B’∪{w₀} とすればS(A) = S(A’)’∪{s₀}、S(B) = S(B’)’∪{s₀} となり矛盾する。 □

300: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 19:28:54.48 ID:y/H4brb4(2/2) AAS
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、2sinA+sinB+sinC+sinAsinBsinCの最大値を求めよ。

301: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 22:27:43.25 ID:Mll4sRUZ(1) AAS
>>299
うお…すごい大作だ　本当にお疲れ様
まじでごめんなんだけど、正しさを確かめる気力が無いから想定解だけ書かせてもらうね

>>282 の続き
Wの部分集合A,Bが A⊂B かつ |A|+2≦|B|≦500 を満たすならば、f(A)≠f(B).
（証明）
Bの元のうちAに属さないものが２つ存在するのでそれらを w_1,w_2 とおく。
A_1:=A∪{w_1}, A_2:=A∪{w_2} とおくと、最初に証明した補題より f(A_1)≠f(A_2) であるから、
f(A) ⊂ f(A_1)∩f(A_2) は f(B) ⊃ f(A_1)∪f(A_2) の真の部分集合である。
（終わり）

（主張の証明）
2^W の部分集合 W_0 を W_0 := W(500) ∪ W(498) ∪ W(496) ∪… と定める。
この時、A,B∈W_0 が A⊂B または B⊂A を満たすならば３つ目の補題から f(A)≠f(B) が導かれ、
どちらも満たさなければ２つ目の補題から f(A)≠f(B) が導かれるので、
f の W_0 への制限は単射であることがわかる。…(1)

2|W_0| = 2Σ_(k=0,250) 1000C(2k) = 1000C500 + Σ_(k=0,500) 1000C(2k) であるが、
(1 + (-1))^1000 の二項展開と (1 + 1)^1000 の二項展開を足し合わせることで Σ_(k=0,500) 1000C(2k) = 2^999 が導けるから、
|W_0| > 2^998. …(2)

(1)と(2)より、|2^S| ≧ |W_0| > 2^998 であるから |S|≧999.
等号成立は >>268 より可能。
（終わり）

302: １３２人目の素数さん [] 2025/09/03(水) 08:38:15.85 ID:wC3sbrDB(1) AAS
をーなんかすごいな
素人の疑問なんだけど、ワインの数とか毒の数によっては
>>268みたいな自明解以外の解が存在するのだろうか

303: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/03(水) 08:52:44.82 ID:AK+unjCX(1/2) AAS
ようするにワインが n 本のとき奴隷がn-2だと不可能、n-1だと可能、すなわち毒入りワインを確実に判定するのに必要な奴隷の数はn-1人である、が答え

304: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/03(水) 09:06:26.14 ID:AK+unjCX(2/2) AAS
正確には “ワインが n 本、毒をいれる本数が ⌈(n-1)/2⌉ 本の場合の必要な奴隷の人数の最小数は n-1 人” の証明が >>289-299。n = 1000 のときは ⌈(n-1)/2⌉ = 500 となるので問題の設定をカバーしてる。>>268 の “解は 995人以上、999人以下” の中で 999 人が答えでしたとさというお話。ワインが1000本、毒が500を拡張する方法は他にも色々あるだろうけど。

305: １３２人目の素数さん [] 2025/09/03(水) 09:07:24.37 ID:iMvGoXCo(1) AAS
あ、毒入りの数が少なければ奴隷も少なくていいケースがあるのか

306: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/03(水) 14:47:08.04 ID:J935Wiym(1) AAS
そりゃ毒入りが1本ならワイン１０００本でも奴隷は１０人で済むわな

307: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/03(水) 17:03:57.96 ID:YbtNoe+g(1) AAS
上の方でも出てる通り、1000本中1本なら10人、2本なら65人だな

308(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/07(日) 02:59:22.65 ID:XDW6vQFz(1) AAS
鋭角三角形である△ABCは、A≠B、B≠C、C≠Aを満たす。
△ABCに内接する正方形で、相異なるものの個数を求めよ。

309: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 03:46:19.23 ID:OW0TX0Rs(1) AAS
>>308
内接の定義を

310: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/07(日) 04:56:37.78 ID:LcZn/s2S(1/5) AAS
3個

311: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/07(日) 05:21:58.84 ID:LcZn/s2S(2/5) AAS
鋭角三角形で３個、そうでないとき１個

312: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/07(日) 05:24:37.53 ID:LcZn/s2S(3/5) AAS
鋭角三角形で３個、直角三角形で２個、鋭角三角形で１個

313: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 10:42:51.34 ID:2u7jYGtD(1/2) AAS
異なる実数x, y, zに対して
　x+y+z=0
　xy+yz+zx=-3
　x＜y＜z
のとき、x, y, zのとりうる値の範囲は
□＜x＜□＜y＜□＜z＜□
である。空欄を求めよ

314: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/07(日) 11:08:37.08 ID:LcZn/s2S(4/5) AAS
-2<x<-1<y<1<z<2

315: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 11:26:10.16 ID:2u7jYGtD(2/2) AAS
お見事です

316: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/07(日) 12:27:20.61 ID:LcZn/s2S(5/5) AAS
直方体 K が直方体 L に含まれているとする。K の 3 辺の長さを a,b,c、L の 3 辺の長さを p,q,r とする。 a+b+c ≦ p+q+r を示せ。

317: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/08(月) 22:55:59.79 ID:NrRzTK6Z(1) AAS
a,b,cを整数とする。
方程式
x^3+ax^2+bx+c=0
が3つの実数解α、β、γを持ち、α=1+√2であるとき、
|a+b+c|を最小にするようなβ、γをすべて求めよ。

318(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/09(火) 00:16:00.25 ID:5QJSkWGE(1/4) AAS
(β,γ) = (1-√2,1)

319: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/09(火) 15:23:01.80 ID:SSqKd6ty(1) AAS
>>318
γ=1以外にないことの証明は？

320: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/09(火) 21:51:56.84 ID:5QJSkWGE(2/4) AAS
(β,γ) = (1-√2,1) → | a+b+c | = | f(1) | = 0
∴ min{ | a+b+c | } = 0

| a+b+c | = | f(1) | = 0 ⇒ 0 ∈ { 1+√2,1-√2,γ }

321: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/09(火) 22:07:00.58 ID:YBobyKJG(1/2) AAS
f(1)=1+a+b+c
になってしまう
先頭の1を除いて考えて
γ=3/2

一意性を示すには
a+b+c は γ の一次関数である
ことをいえばよい

322: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/09(火) 22:10:05.44 ID:YBobyKJG(2/2) AAS
あ、整数の縛りがあったか

323: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/09(火) 23:22:28.05 ID:5QJSkWGE(3/4) AAS
a+b+c = f(1)-1 = (1^2 - 2・1-1)(1-γ)-1 = -3+2γ
γ = 2,1

324(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/09(火) 23:37:45.90 ID:5QJSkWGE(4/4) AAS
f(n) = Σ[k=1,n](k!)^2 が素数となる n は無限にあるか？

325: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/10(水) 20:52:36.25 ID:G0ue5EhB(1) AAS
kは正整数の定数、eは自然対数の底とする。
a[n]={1+(1/n)}^n
に対して、以下の極限を求めよ。

lim[n→∞] (a[n]-a[n+k])/(a[n]-e)

326: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/11(木) 00:28:26.78 ID:h38MyBig(1) AAS
f(k,t) := exp( (1/t + k) log( 1 + t/(1+kt) ) )
= e - et/2 + 1/24 e(12k+11)t^2 + o(t^2) ( t→0 )

lim[n→∞] (a[n]-a[n+k])/(a[n]-e)
= lim[t→0] (f(n,0) - f(n,k))/(f(n,0) - e )
= lim[t→0] (11/24 et^2 - 1/24 e(12k+11)t^2)/(- et/2 ) + o(t)

https://ja.wolframalpha.com/input?i=series+exp%28+%281%2Ft%2Bk+%29+log%28+1%2Bt%2F%281%2B+k+t%29%29+%29+at+t%3D0

327(1): １３２人目の素数さん [] 2025/09/11(木) 17:47:00.90 ID:FBPQUfKr(1) AAS
【整数問題】
何も書かれていない10cmものさしがある。
3箇所にだけ目盛りを振って、1cm〜10cmまでの全整数を測れるようにしたい。
これが不可能なことを示せ。

ヒントとして問題を言い換えると、
a+b+c+d=10としたとき、
{a,b,c,d,a+b,b+c,c+d,a+b+c,b+c+d,a+b+c+d}の10個の値が被ることなく1〜10の整数になるような
a,b,c,dが存在しないことを証明せよ。

328: １３２人目の素数さん [] 2025/09/11(木) 18:46:18.35 ID:r3ND9RN6(1) AAS
>>327
a+…+a+b+c+d≠55

329: １３２人目の素数さん [] 2025/09/12(金) 10:22:46.90 ID:Ri1jn8ej(1) AAS
瞬殺ｗ

330: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/12(金) 12:37:03.70 ID:k+DCpciA(1) AAS
平面上に半径1の円を、2つ以上の円が重ならないように自由に置いていく。ただし接することは認める。
いま、（1）（2）の場合に、平面上にn個の点を、以下の条件を満たすようにうまく配置できるか。

【条件】
半径1の円をどのように置いても、n個の点のうち少なくとも1つは円の外側に出る。

（1）n=4のとき
（2）n=10のとき

331: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/12(金) 20:50:28.41 ID:0bMneArb(1) AAS
x^2+xy+y^2=1
の条件下で、s=x+yおよびt=xyの多項式g(s,t)の最大値を与える(x,y)を(a,b)、最小値を与える(x,y)を(c,d)とおく。
(c,d)=(-a,-b)は成り立つか。

332: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/12(金) 23:52:57.03 ID:g4KYvI9F(1) AAS
>>324
これ答えあるんかなあ
素数p<20000くらいまで調べた感じmodで攻めるのは無理そう
常にあるnについての多項式で得られる整数の倍数になる線も考えたけど小さいnで素数になる率が高すぎる

333: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/13(土) 00:01:09.40 ID:m3ypxV51(1) AAS
g(s,t) = s+t は
(s,t,x,y) = (2/√3,1/3,1/√3,1/√3) のとき最大値、
(s,t,x,y) = (-1/2,-3/4,-1/4 ± √13/4,-1/4 ∓ √13/4)のとき最小値

334(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/13(土) 18:22:16.09 ID:15EaKNrN(1) AAS
a,bを実数の定数とする。
実数x,yが
x^2+xy+y^2=1
を満たしながら動くとき、
f(x,y)=a(x+y)-bxy
は恒等的に定数ではないとする。
f(x,y)の最大値を与える(x,y)を(p,q)、最小値を与える(x,y)を(r,s)とおく。
xy平面上の原点をO、A(p,q)、B(r,s)とするとき、cos∠AOBをa,bで表し、さらにa,bが実数全体を動くときのcos∠AOBの取りうる値の範囲を求めよ。

335: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/09/14(日) 19:42:32.11 ID:7Ym/yvH3(1) AAS
前>>285
>>334
A,Bのとりうる軌跡は長軸2√2,
短軸2√3/3の楕円.
0≦∠AOB≦π
∴-1≦cos∠AOB≦1

336: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/16(火) 14:20:13.11 ID:AqNEsaLH(1) AAS
335は誤りで読む価値もないので再出題します

【問題】
a,bを実数の定数とする。
実数x,yが
x^2+xy+y^2=1
を満たしながら動くとき、
f(x,y)=a(x+y)-bxy
は恒等的に定数ではないとする。
f(x,y)の最大値を与える(x,y)を(p,q)、最小値を与える(x,y)を(r,s)とおく。
xy平面上の原点をO、A(p,q)、B(r,s)とするとき、cos∠AOBをa,bで表し、さらにa,bが実数全体を動くときのcos∠AOBの取りうる値の範囲を求めよ。

337: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/17(水) 18:03:58.01 ID:J87I+ufR(1) AAS
a,b,nは正の整数とする。
a^2+b^2=2^n
を満たす(a,b,n)の組をすべて求めよ。

338: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/17(水) 18:44:30.24 ID:PAYY6DOQ(1/2) AAS
(2^k,2^k,2^(2k+1)) (k : non negetive integer )

339: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/17(水) 23:38:31.52 ID:PAYY6DOQ(2/2) AAS
Find ∫_{0}^{∞} log(x+1/x)/(x⁴+1) dx .

340: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/19(金) 12:19:02.06 ID:A0BX3yKK(1) AAS
xyz空間において、xy平面上の円(x-2)^2+y^2=1,z=0をy軸の周りに1回転させてできる立体をKとする。
Kの表面上を点P(a,b,c)が動くとき、a+b+cが最大になる(a,b,c)の組は何組あるか。

341: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/19(金) 12:41:47.94 ID:MaenDR0i(1) AAS
この問題自体は解が1桁の整数なので
答えると続きの問題を投下するつもりとみた

スルーで

342: １３２人目の素数さん [] 2025/09/19(金) 13:21:19.91 ID:8HF96wgc(1) AAS
どうみても、ポエムは書けてもまともな出題は無理な人のポエムですね

343: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/19(金) 22:15:44.44 ID:aOXAub6Q(1) AAS
実数xに対し、<x>はxの小数部分を表す。
nがすべての正の整数を動くとき、<n√2>には最小値が存在しないことを証明せよ。

344: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/19(金) 22:29:12.63 ID:6jJcJDCl(1) AAS
https://metaphor.ethz.ch/x/2021/hs/401-3110-71L/ex/nineth.pdf

345(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/22(月) 21:23:49.95 ID:R9XN05tS(1) AAS
正三角形の中に、どの2つも重ならないように3つの円板を置く。
3つの円板の面積の合計が最大となる置き方を述べよ。

346: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/22(月) 23:00:30.26 ID:MhTV9Wct(1) AAS
^_^7
^_^

^_^
)
(
(

勘でひとつは内接円

347: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/23(火) 15:00:01.70 ID:tRpbWwM5(1/5) AAS
2円をC₁ C₂ とする。C₁ と C₂ の共有点は高々 1 個、C₁ と三角形の周との共有点は高々２個だから併せて共有点は高々３個。共有点の個数の合計が２個以下なら共有点の個数を変えずに面積を増大させられる。よって最大値をとる配置においては共有点の個数の合計はちょうど３でなければならない。 C₂ と C₁、三角形の周との共有点の個数の合計も最大値をとる配置においてはちょうど３である。以上により
３角形の領域
y≧0,、x+y/√3 ≦ 1、-x+y/√3 ≦ 1
円の方程式
C₁ : (x-√3a + 1)² + (y-a)² = a²、C₂ : (x+√3b - 1)² + (y-b)² = b²
束縛条件
(a+b)² = (2-√3a-√3b)² + (a-b)²、0≦a≦1/√3、0≦b≦1/√3
とおける。この束縛条件下での πa²+πb² が最大値をとる条件を求めればよい。束縛条件をみたす(a,b)の軌跡を(a,b)平面に図示して πa²+πb² が最大となるのは a=1/√3 または b=1/√3 のときである。

348: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/23(火) 15:00:08.08 ID:tRpbWwM5(2/5) AAS
https://www.wolframalpha.com/input?i=%28a%2Bb%29%C2%B2+%3D+%282-%28%E2%88%9A3%29a-%28%E2%88%9A3%29b%29%C2%B2+%2B+%28a-b%29%C2%B2%2C+a%E2%89%A61%2F%E2%88%9A3%2Cb%E2%89%A61%2F%E2%88%9A3&lang=ja

349(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/23(火) 16:12:15.81 ID:rUJD65ms(1) AAS
方程式
x^2+px+1=0
x^2+px-1=0
がともに整数解を持つような有理数pをすべて求めよ。

350(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/23(火) 17:00:20.27 ID:tRpbWwM5(3/5) AAS
-p = (m^2+1)/m = (n^2-1)/n ( m,n ∈ℤ ) とおける。v が有限加法付置のとき v(m)>0 ⇒ v(m) = v(n)、v(n)>0 ⇒ v(m) = v(n) だから m = ±n が必要である。m=n のとき m^2+1 = m^2-1 であり解なし。m=-n のとき m^2+1 = -(m^2-1) により m^2 = 0 であり解なし。
..
しょうもな

351: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/23(火) 17:37:32.69 ID:oQPZR4zQ(1) AAS
>>350
間違っています
こんな高校数学レベルの問題にも解答できないんですね（笑）

352: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/23(火) 17:50:53.00 ID:tRpbWwM5(4/5) AAS
ああ、p=0か

353: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/23(火) 17:51:06.53 ID:tRpbWwM5(5/5) AAS
しょうもな

354: １３２人目の素数さん [] 2025/09/23(火) 19:52:54.31 ID:yC5hEdko(1) AAS
>>349は昔、高校数学スレで適当に考えた問題を連投しまくってた馬鹿。
あっちで相手にされなくなったので、ここで連投し始めた。
作問センスが全くないのに、自覚がないから始末が悪い。

355: １３２人目の素数さん [] 2025/09/23(火) 21:06:24.37 ID:0UHeqstL(1) AAS
誤植マジェマジェ問題文読んだら負けな糞問作成力はそこそこあると思うよ

356(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/25(木) 14:10:51.98 ID:o9EoOFyb(1) AAS
a^2+b^3=c^4
を満たす正の整数(a,b,c)は存在するか。

357: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/25(木) 15:56:05.62 ID:fKIn6h3A(1/2) AAS
>>356
(a,b,c)=(28,8,6)

358: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/25(木) 15:58:25.58 ID:fKIn6h3A(2/2) AAS
nは3以上の整数とする。
xの方程式x^n-3x+1=0とx^2-3x+1=0は共通の解を持たないことを示せ。

359: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/25(木) 16:20:24.31 ID:16fQifg1(1/2) AAS
解なし

京都大学の入試問題
x^6+y^4=9z^2
の解を使えば、負の数を含めた範囲では成り立つ

360: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/25(木) 16:22:43.35 ID:16fQifg1(2/2) AAS
あれっ、解あるんだ

GoogleAIは
フェルマーの定理により解なし
ソースは数検の公式X
って言ってたのに

361: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/26(金) 17:58:17.88 ID:FeHdZpfm(1) AAS
2以上の整数nに対して、
Σ[k=1,n] √k
は無理数であることを証明せよ。

362: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/26(金) 22:51:30.17 ID:M7/pjllS(1) AAS
tr(Σ[k: not square]√k = 0

363: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 10:13:28.78 ID:UsSGsey5(1) AAS
平面z=ax+byの最大勾配を求めたい。
ベクトルでどうなりますか

364: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 15:03:54.57 ID:5cjP7XC6(1) AAS
2項係数200Ｃ100を割りきる最大の2桁の素数を求めなさい

365: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/27(土) 15:38:52.96 ID:5M32mdGL(1) AAS
f(x)=x^2+x+1
とする。自然数nに対して、f(n)の下2桁の整数をa[n]で表す。
たとえばf(1)=3,a[1]=3,f(10)=111,a[10]=11,である。
n=1,2,...について、a[n]に現れない整数をすべて求めよ。

366: １３２人目の素数さん [] 2025/09/29(月) 09:33:09.89 ID:WQSb38GG(1) AAS
5つの箱が横一列に並んでいる
猫はその箱のひとつに入っていて、夜になると左右いずれかの箱に移動する
あなたは毎朝ひとつだけ箱の中身を調べることができる
猫が隠れている箱を遅くとも何日目の朝に見つけることができるか

367: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/29(月) 11:00:32.37 ID:hhzC6P4P(1) AAS
2次方程式
x^2+ax+b=0
が絶対値1の複素数解をもつという。
|a|+|b|の最小値を求めよ。

368: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/29(月) 16:04:54.25 ID:8xqOBJ1I(1) AAS
|α|=1, β = -t α ( t≧0 ) において
|a| + |b| = | 1 - tα | + | -t α | ≧ 1 - | tα | + | -t α | = 1

369(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/30(火) 16:15:11.49 ID:JMMQr/Y1(1) AAS
整数nを10進法表記したときの、その下二桁の数をa[n]とする。
たとえばa[356]=56、a[7]=7である。

cを2でも5でも割り切れない正整数とする。
a[cx]=1となる0以上の整数xが存在することを示せ。

370(2): １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/01(水) 09:57:07.07 ID:l//9Q0Ks(1) AAS
φ(100)=40より c^40 ≡ 1 ( mod 100 )

371: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/01(水) 11:18:30.70 ID:D32rSgbV(1/2) AAS
>>370
ありがとうこざいます
簡潔すぎてxが存在することの証明になっているか理解できません
もう少し細かく書いていただくことはできませんか？

372: 369 [sage] 2025/10/01(水) 11:18:46.33 ID:D32rSgbV(2/2) AAS
>>370
すいません、369です

373: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/01(水) 18:25:38.26 ID:Yyy3ZDwF(1) AAS
N∈ℕ、c∈ℤ、(c,N) = 1 ⇒ c^φ(n) ≡ 1 ( mod N ), where φ(x) is Euler tautient function.

374: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/10/03(金) 07:56:29.60 ID:1Gw/P+bk(1/2) AAS
>>345
三隅に均等な三円配置するよりは、中央に最大円を二隅にそのときの最大円を配置するのが面積は大きい.
おそらく最大かと.

375(1): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/10/03(金) 08:08:25.89 ID:1Gw/P+bk(2/2) AAS
>>345
三隅に均等な三円配置するよりは、中央に最大円を二隅にそのときの最大円を配置するのが面積は大きい.
おそらく最大かと.

376(4): １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/03(金) 10:46:51.07 ID:bmqpqiVe(1) AAS
n枚の100円玉と、n+1枚の500円玉を同時に投げる。
このとき、表が出た500円玉の枚数が、表が出た100円玉の枚数より多い確率を求めよ。

377: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/03(金) 14:28:07.31 ID:4bWPiNw/(1) AAS
京大やな

378: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/03(金) 15:56:01.98 ID:gw/M3cRO(1) AAS
>>376
イナさんが直感で答えて正解しそう

379: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/04(土) 10:08:14.88 ID:/0bpi6od(1) AAS
(1-【同数となる確率】)/2

380: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/04(土) 16:45:43.87 ID:egmaZhUF(1) AAS
xの方程式
(x^2-3x+1)(x^2-kx+1)+1=0
が整数解を持つような整数kを全て求めよ。

381: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/05(日) 02:21:19.84 ID:4PtWK/R0(1) AAS
k = (3 - x)/(x^2 - 3 x + 1) + x + 2/x
v(x) > 0 → v( (3 - x)/(x^2 - 3 x + 1) + x + 2/x ) < 0 unless v is 2-addic and x = ±2.

382: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/06(月) 10:45:18.80 ID:4brTqziK(1) AAS
0≦x<π/2において、
sinx+cosx+tanx
の最小値を求めよ。

383(1): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/10/06(月) 13:00:11.78 ID:eorVIkmu(1/3) AAS
前>>375
>>376
百円玉n枚のうちa枚表が出、五百円玉n+1枚のうちb枚表が出たとすると、表が出る確率はそれぞれ、
a/n=1/2,b/(n+1)=1/2
a-b=n/2-(n+1)/2=1/2＞0
∴100%

384(1): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/10/06(月) 13:03:01.14 ID:eorVIkmu(2/3) AAS
前>>383訂正。
>>376
百円玉n枚のうちa枚表が出、五百円玉n+1枚のうちb枚表が出たとすると、表が出る確率はそれぞれ、
a/n=1/2,b/(n+1)=1/2
b-a=(n+1)/2-n/2=1/2＞0
∴100%

385: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/10/06(月) 13:19:19.87 ID:eorVIkmu(3/3) AAS
前>>384訂正。
>>376
百円玉n枚のうちa枚表が出、五百円玉n+1枚のうちb枚表が出たとすると、表が出る確率はそれぞれ、
a/n=1/2,b/(n+1)=1/2
b-a=(n+1)/2-n/2=1/2
表の枚数差が1/2ということは0枚と1枚のあいだ.
逆に2枚と-1枚のあいだとか3枚と-2枚のあいだということもある.
つまりnがじゅうぶん大きければ、
nとn+1の違いなんてほとんどなくなる.
∴50%

∴50%

386: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/06(月) 15:26:20.36 ID:Vw2BRcS3(1/2) AAS
以下の条件を全て満たす六角形は存在するか？
・内角が全て等しい
・対辺の長さが等しい
・辺の長さが全て整数
・対角線の長さが全て整数

387: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/06(月) 15:54:44.74 ID:7agDP6Pi(1) AAS
隣接する３頂点の外心はすべて一致し図形はその点Oに対して点対称である必要がある。ABCがこの順に隣接する３頂点としてOA=OB=OC=b/sin(120°)は無理数だが、これは最長の対角線の長さの半分だから矛盾する。

388: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/06(月) 18:35:01.17 ID:Vw2BRcS3(2/2) AAS
なにか誤解されてると思います

389: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 08:33:12.68 ID:VoPYoL4R(1/4) AAS
条件を満たす６角形 PQRSTU が存在するとして PQ > QR >RS とする。O を端点とする半直線 OA, OB と半直線 OA 上の点 A’’、A’、半直線 OB 上の点 B’’、B’ を
・∠AOB = 60°
・OA = 1, OA’ = 1 + RS/PQ, OA’’ = 1 - RS/PQ
・OB = 1, OB’ = 1 + QR/PQ, OB’’ = 1 - QR/PQ
をみたすようにとる。

390: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 08:33:38.24 ID:VoPYoL4R(2/4) AAS
u = RS/PQ とすれば
　B’A’’² = (PT/PQ)² = 1+u+u²、B’A’² = (QS/PQ)² = 1-u+u²
であるから v = √((1+u+u²)(1-u+u²)) は有理数となり (u,v) は楕円曲線 V² = U⁴ + U² + 1 上の有理点となる。

391: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 08:33:56.98 ID:VoPYoL4R(3/4) AAS
双有理変換
　x = 2(v + 1)、y = 4(v+1) + 2u²
によって (x,y) は Weierestrass 標準形で定義された楕円曲線
　Y² = X³ + X² - 4X - 4
に移される

392: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 08:34:03.87 ID:VoPYoL4R(4/4) AAS
が、この楕円曲線の有理点は
　(-1,0)、(-2,0)、(2,0)
に限られるから矛盾する。

https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxztXXNycksKMlMdi4tKkvViDbQMdQx0NE1AaJYTV4uV73MvJLU9KLEnPiCfCCzWCMpvyQjvjgzPa_YNqSoNFUTAL_PFgQ=&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==

393: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 12:58:25.70 ID:aoMpdVUQ(1/3) AAS
b,cは整数で、b≠0であり、2次方程式x^2+bx+c=0は無理数の解α、βを持つとする。
相異なる整数m,nに対して、α^m+β^nは整数でないことを証明せよ。

394(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 13:11:41.71 ID:hLfAvSpN(1) AAS
b=c=1

395: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 15:16:19.88 ID:aoMpdVUQ(2/3) AAS
>>394
実数解ではないから無理数解とは言わない

396: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 16:13:01.97 ID:+TwosJxG(1) AAS
受験数学ならそうかもしれないけど大学以上ぬ数学で「有理数でない複素数」の事を「無理数または虚数」なんて言わないと思うけど

397: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/08(水) 20:39:07.58 ID:aoMpdVUQ(3/3) AAS
b,cは整数で、b≠0かつb^2-4c>0を満たす。
2次方程式x^2+bx+c=0が無理数の解α、βを持つとき、相異なる整数m,nに対して、α^m+β^nは整数でないことを証明せよ。

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