面白い数学の問題おしえて~な 44問目 (229レス)
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(5): 132人目の素数さん [sage] 2025/05/01(木) 12:31:40.74 ID:gmHMkXUG(1) AAS
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨

前スレ
面白い数学の問題おしえて~な 43問目
2chスレ:math

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/
130
(1): 132人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:48:50.73 ID:pCjWjeqh(4/7) AAS
(i) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (3^a⋅4^b/2,2) のとき
2⋅5^(c/2) + 2 = 7^(d/2) + 5^(c/2) = 3^a⋅4^b/2
5^(c/2) + 1 = 3^a⋅4^(b-1)
∴ c>0 a:even,
5^(c/2) = (3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1)(3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1)
3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1), 3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1 はともに 5 べきで差が2より矛盾。
∴(i) に解なし。
131: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:49:07.88 ID:pCjWjeqh(5/7) AAS
(ii) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (2⋅3^a,4^b/2) のとき
7^(d/2) + 5^(c/2) ≧ 7+1 だから a>0 であり c は奇数。よって④より b=1
∴ 7^(d/2) - 5^(c/2) = 2
∴ 7^(d/2) - 5^(c/2) = 2
2⋅5^(c/2) + 2 = 7^(d/2) + 5^(c/2) = 2⋅5^(c/2) + 2 = 2⋅3^a
5^(c/2) = 3^a - 1
mod 2 で考察して解なし。
132: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:49:22.08 ID:pCjWjeqh(6/7) AAS
(iii) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (4^b/2,2⋅3^a) のとき
7^(d/2) = 4^(b-1) + 3^a
5^(c/2) = 4^(b-1) - 3^a

a = 0 とする。
5^(c/2) = (2^(b-1) + 1)(2^(b-1) - 1)
2^(b-1) + 1 と 2^(b-1) - 1 は差が 2 の5べきより解なし。
∴ a≠0
∴ 5^(c/2) = 4^(b-1) ( mod 3 )
∴ c/2 : even
133: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/11(金) 21:50:04.77 ID:pCjWjeqh(7/7) AAS
3^a = ( 2^(b-1) + 5^(c/4) )( 2^(b-1) - 5^(c/4) )
( 2^(b-1) + 5^(c/4), 2^(b-1) - 5^(c/4) ) = ( 2^b, 2^(b-1) - 5^(c/4)) は 3^a と 2^b の公約数だから 1。
∴ 2^(b-1) - 5^(c/4) = 1, 2^(b-1) + 5^(c/4) = 3^a
∴ 2^(b-1) ≡ 5^(c/4) + 1 ( mod 8 )
∴ c/4 : even, b=2
∴ c = 0
∴ 3^a⋅16 + 1 = 7^d
∴ 3^a⋅16 = (7^(d/2)+1)(7^(d/2)-1)
(7^(d/2)+1)/2,(7^(d/2)-1)/2 は差が 1 よりいずれかが3べきでいずれかが2べき
7^(d/2)+1 = 2⋅3^u、7^(d/2)-1 = 2^v とする。
7^(d/2)-1 ≡ 2^v ( mod 8 ) より d/2 は偶数だがこのとき 0 ≡ 7^(d/2)-1 ≡ 2^v ( mod 3 ) で矛盾。
∴ 7^(d/2)+1 = 2^v、7^(d/2)-1 = 2⋅3^u となる。
7^(d/2)+1 は 8 以上の 2 べきだから 8 の倍数。よって d/2 は奇数であり
7^(d/2)+1 = (7+1)(7^(d/2-1)-7^(d/2-2)+...+1)
が 2 べきで 7^(d/2-1)-7^(d/2-2)+...+1 は奇数だから 1 。
∴ d=2, a=1
134: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/12(土) 08:21:17.28 ID:v+eu2xVR(1) AAS
>>130 以降の議論が追えないので整理してみた
c'=c/2, d'=d/2 とおく
(i)
7^d' + 5^c' = (3^a×4^b)/2 …(i-1)
7^d' - 5^c' = 2 …(i-2)
(i-1)-(i-2) を整理して 5^c' + 1 = 3^a×4^(b-1)
この式のmod4は (左辺)≡2, (右辺)≡0,1,3 になるので解無し

(ii)
7^d' + 5^c' = 2×3^a …(ii-1)
7^d' - 5^c' = (4^b)/2 …(ii-2)
d>0 より (ii-1) の左辺は8以上になるので、a>0.
これより (ii-1) のmod3をとると 1 + (-1)^c' ≡ 0. ゆえに c' は奇数。
したがって (ii-2) のmod8をとると (-1)^d' - 5 ≡ 0 or 2 であるから d' は奇数、b=1 でなければならない。
しかし b=1 を (ii-1)-(ii-2) に代入して整理すると 5^c' = 3^a - 1 となり、mod2で矛盾するため解無し。

(iii)
7^d' + 5^c' = (4^b)/2 …(iii-1)
7^d' - 5^c' = 2⋅3^a …(iii-2)
(iii-1) のmod8をとると 5^c' ≡ (4^b)/2 - (-1)^d' ≡ 1,3,7 であるから、c' は偶数。
c''=c'/2 とおくと、(iii-1)-(iii-2) を整理して変形することで
3^a = (2^(b-1) + 5^c'')(2^(b-1) - 5^c'')
を得る。
ゆえにこの右辺で掛け合わされている2つの因数はいずれも3以外の素因数を持たないが、
2つの因数の最大公約数は (2^(b-1) + 5^c'') + (2^(b-1) - 5^c'') = 2^b の約数でもなければならず、したがって 1 以外にあり得ない。
以上より
2^(b-1) + 5^c'' = 3^a …(iii-3)
2^(b-1) - 5^c'' = 1 …(iii-4)
が導ける。(iii-4) のmod8をとることにより b=2 でなければならないことがわかるので、
(iii-4) から c''=0、 (iii-3) から a=1、 (iii-1) から d'=1 が順に導ける。
135: 132人目の素数さん [] 2025/07/12(土) 08:45:57.34 ID:vo/7tYa9(1) AAS
なるほどなぁ
やっぱり因数分解した2式を組み合わせて考えると頑張れば解けるのか
そこで3と4という2種類の因子とmod8の制約が上手く効いてる感じだね
136
(1): 132人目の素数さん [sage] 2025/07/12(土) 20:49:41.99 ID:4D5AfGqX(1) AAS
>>125
そうそう。元ネタは上で今日新しいの上がってた
https://www.youtube.com/shorts/GzGIVVxbjJM?feature=share
https://www.youtube.com/shorts/vnegikysDbs
どちらも最小解しか出してない。多分解は無限個あってきれいなルールで列挙するのはできてない。無理だと思う。おれも95%らしい。orz
137: 132人目の素数さん [] 2025/07/13(日) 05:11:35.30 ID:Nau2shlJ(1/5) AAS
>>136
これに対応する楕円曲線の階数が1らしいから負の解も含めれば無限に解はあって
正の解の範囲(これは曲線上では3つの区間に対応するらしい)に無限に入ってるかどうかという話だよね
楕円曲線の一般論とかですぐ言えそうだけど…
自分は何も分からんw
138
(1): 132人目の素数さん [sage] 2025/07/13(日) 07:14:20.05 ID:3+0wBUde(1) AAS
そうそう。一応当方幾何学的な方法と解析的な方法で二つ証明もっております。
139: 132人目の素数さん [] 2025/07/13(日) 07:40:22.89 ID:Nau2shlJ(2/5) AAS
>>138
楕円曲線勉強しようと思ってるからモチベのためにも書ける範囲で証明教えてほしい
140: 132人目の素数さん [] 2025/07/13(日) 10:53:37.70 ID:imQoI0mZ(1) AAS
pとp+4は素数であるとする。
ただし、pは3ではない。
このとき、(p+1)(p+2)(p+3)は「ある自然数」の倍数になる。
「ある自然数」の最大値を求めよ。
141: 132人目の素数さん [] 2025/07/13(日) 11:58:09.41 ID:Nau2shlJ(3/5) AAS
p=7,13,19のときの(p+1)(p+2)(p+3)の最大公約数は120
逆にp≧7でp,p+4が素数であることから(p+1)(p+2)(p+3)は2×3×4×5=120を必ず割り切る
よって120が最大
142: 132人目の素数さん [] 2025/07/13(日) 12:01:59.87 ID:Nau2shlJ(4/5) AAS
あれ
これだとp=3のときを除外しなくてもいいような…
143: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/13(日) 12:18:53.33 ID:D0D+FAcF(1) AAS
問題に穴があるのはいつもの事だから
OK
144: 132人目の素数さん [] 2025/07/13(日) 12:38:28.46 ID:Nau2shlJ(5/5) AAS
たまには自分も出題してみる

N人のクラスでテストをして平均点を計算したら自然数になった
dをNの任意の約数とする
このとき、うまくクラスをd等分して班分けすれば、どの班内でのテストの平均点も自然数に出来ることを示せ
ただしテストの点は0〜100の自然数とする
145: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/13(日) 22:53:18.61 ID:4xQ8jzLG(1) AAS
これは割と有名やな。知ってるので答え書かないけど。
146: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 01:52:05.02 ID:wX4Go6Eo(1/4) AAS
結構考えてやっとできた気がする
147: 132人目の素数さん [] 2025/07/14(月) 07:02:12.78 ID:jDZoCdXZ(1/3) AAS
有名だったか…
じゃあyoutubeで拾ってきたやつ

区間(0,1)からランダムに選んだ実数x,yから分数x/yを作ったとき、
それに1番近い自然数(x/yを小数表示で四捨五入する)が偶数になる確率はいくらか?
148: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 08:41:47.09 ID:sMJtkUkz(1/2) AAS
まぁ面白いのは間違いないわな。証明感動すると同時によくこんなの思いつくなと思ったし。
149: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 08:58:47.01 ID:sMJtkUkz(2/2) AAS
P(x/y < 1/2) + P(3/2 < x/y < 5/2) + P(7/2 < x/y < 9/2) + ...
= 1/4 + 1/2( 2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + ... )
= 1/4 + 2Σ1/(4k-1)(4k+1)
= 1/4 + 2(4-π)/8
= 5/4 - π/4
150: 132人目の素数さん [] 2025/07/14(月) 09:08:19.52 ID:jDZoCdXZ(2/3) AAS
正解!
素朴には1/2と思うのに違うし、円周率出てくるのも面白いよね
151: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 17:00:26.47 ID:wX4Go6Eo(2/4) AAS
できたような気がしてたが、2クラスに分ける場合に還元できただけだったわ
聞いたことある問題なんだがなあ
自力ではきつい系か
152
(1): 132人目の素数さん [] 2025/07/14(月) 17:34:36.74 ID:jDZoCdXZ(3/3) AAS
そう、2つの場合にEGZ使う
153: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 17:57:30.56 ID:wX4Go6Eo(3/4) AAS
>>152
こんな定理があるのね
最後のステップはほぽ定理そのままやし自力はきついわ
154: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/14(月) 23:25:33.63 ID:wX4Go6Eo(4/4) AAS
EGZって定理を教えてもらったついでに、この定理がちゃんと下限を与えているかどうかを今日の宿題にしよ。簡単に作れるかもしれんけど

mを正整数として、a_1,...a_{2m-2}をℤ_mの元とする。このとき、aたちからm個の元を選んで、総和を0にすることは必ずしもできるわけではないことを示せ
155: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 00:58:45.69 ID:ZVmDyLNq(1/5) AAS
ちょうど n-1 個の +1 と n-1 個の -1 でだめですな
156: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:44:31.36 ID:ZVmDyLNq(2/5) AAS
幾何的証明

まず 超平面 c=0 を抜いてえられるユークリッド平面上で楕円曲線をプロットすると参考図のようになる。
(参考図)
https://ja.wolframalpha.com/input?i=c+%3D+1+%E3%81%AE%E3%81%A8%E3%81%8D+a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3-3%28a%5E2b%2Bb%5E2c%2Bc%5E2a%2Bb%5E2a%2Bc%5E2b%2Ba%5E2c%29-5+a+b+c+%3D+0
この図の a,b>0 の部分に無限に有理点が存在することを示せばよい。参考動画にある有理点を P₀(a₀,b₀) (a₀>b₀>0) とする。
157: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:44:40.34 ID:ZVmDyLNq(3/5) AAS
参考図にあるとおり平面上連結成分が3つあるが、右上から順に C₁, C₂, C₃ とする。{Pₙ(pₙ,qₙ)} を相異なる無限有理点列とする。必要なら Pₙ を 直線 P₀Pₙ と曲線の交点に取り替えることにより lim Pₙ は曲線上の点 U(u,v) に収束するとしてよい。必要なら同じ置き換えをおこなって u≠v としてよい。 このとき有理点列 Qₙ(qₙ, pₙ) は V(v,u) に収束するとしてよい。このとき Pₙ , Qₙ の部分裂 (P’ₙ , Q’ₙ) を直線 P’ₙQ’ₙ の傾きが -1 でなく、よってこの直線と曲線の交点 R’ₙ が C₂ にありかつ n →∞ で C₂ の無限有理点列で非有界であるとしてよい。必要なら a=b で対称な点で取り替えて Sₙ を C₂ の無限有理点列で非有界かつすべて b<a の側にあるとしてよい。このとき十分おおきな n で 直線 P₀Sₙ と曲線の交点からなる有理点は a,b>0 の部分に属する。□
158: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:45:15.59 ID:ZVmDyLNq(4/5) AAS
解析的証明

曲線は適当に座標を選んで C: y² = 4x³ - (44836 x)/3 + 9481256/27 としてよい。 適当な τ,u を選んで(u²𝔭(τ,z),u³𝔭’(τ,z)) が C をパラメトライズできる。
159: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:45:20.64 ID:ZVmDyLNq(5/5) AAS
このときこの写像が群準同型を導くとしてよい。これを π とすれば G = cl(π⁻¹(ℙℚ²)) は ℂ の加法群の実一次元部分群である。開集合 U = π⁻¹(a>0b>0c>0) ∩ G は空でなく、π⁻¹(ℙℚ²)) は G の稠密部分集合だから U ∩ π⁻¹(ℙℚ²) は無限集合である。
160
(2): 132人目の素数さん [sage] 2025/07/18(金) 17:57:35.62 ID:VyyMUyKj(1) AAS
Joker1枚がある53枚のトランプを一列にならべる。
❤Aと Joker の間にあるカードのスートの種類の数の期待値を求めよ。ただし“間”には❤AとJokerはふくめないものとする。
161: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 10:23:37.83 ID:+XuY0woP(1/2) AAS
実数の濃度がアレフ2らしいけど
それなら非加算で稠密で排反な
2つに分けられるのかな
アレフ2でなくてもできるのかな
162: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/21(月) 10:25:03.71 ID:+XuY0woP(2/2) AAS
スレチでしたね
無視して
163: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 07:53:35.14 ID:/2kjOwp5(1/2) AAS
関数 f:R→R は、任意の実数xについて lim_(t→x+0) f(t) = f(x) を満たす。
この時、少なくとも1つの実数 x について lim_(t→x) f(t) = f(x) が成り立つことを示せ。
164: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 15:33:49.02 ID:rZ8dIIWn(1/2) AAS
Fix n∈ℕ. 𝒪ₙ := { I ; I is open interval st. diam( f(I) ) < 1/n }. As f is right continuous, we can find q(x)>x such that (x,a(x)) ∈𝒪ₙ q(x)∈ℚ
165
(1): 132人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 15:33:58.76 ID:rZ8dIIWn(2/2) AAS
Suppose there exists x,y ∈ ℝ such that q(x) = q(y). If x < y, then y∈ (x,q(x)) ⊂ ∪𝒪ₙ. Thus y cannot be in ℝ\∪𝒪ₙ. Thus at least one of x,y cannot be in ∪𝒪ₙ. Thus the restriction q on ℝ\∪𝒪ₙ is injective. Thus ℝ\∪𝒪ₙ is countable. Thus ℝ\∩ₙ ∪𝒪ₙ is also countable. On the other hand f is continuous on ℝ\∩ₙ ∪𝒪ₙ.
166: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 16:51:52.22 ID:r7J1qQpv(1/2) AAS
高々可算じゃね?
167: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 17:08:22.34 ID:r7J1qQpv(2/2) AAS
よく見たら最後の集合が反転してるtypoのせいかな
そこ直せば高々可算でも問題ないな
168: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 20:03:25.57 ID:/2kjOwp5(2/2) AAS
>>165
なんと!高々可算の点以外で両側連続になることを示したのか
正解お見事です!(最後の on the other hand は in other words ってことかしら)
169: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/29(火) 22:48:26.47 ID:KSc+c9bT(1) AAS
Show that n + (n-1)z¹ + (n-2)z² + ... + zⁿ⁻¹ has no roots in { z ; |z| ≦ 1 }.
170: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/07/31(木) 20:05:43.62 ID:pjVHkYGR(1/2) AAS
>>121
>>160
❤AとJokerにより残り51枚は三つのエリアに分割配置される.
等分なら17枚、❤は12枚、それ以外のスートが13枚ずつあり、4種類とも間に入る可能性はかなりある.
❤AとJokerがとなりあったら間は0枚0種類.
❤AとJokerの間が1枚のとき1種類.
2枚のとき1種類か2種類.
3枚のとき1種類か2種類か3種類.
4〜13枚のとき1種類か2種類か3種類か4種類.
14〜26枚のとき2種類か3種類か4種類.
27〜39枚のとき3種類か4種類.
40〜51枚のとき4種類.
概算で4×12/52+3.5×13/52+3×13/52+2.5×10/52+2×1/52+1.5×1/52+1×1/52+0×1/52
=12/13+7/8+13/14+25/52+1/26+3/104+1/52
=(49+52)/56+(96+50+4+3+2)/104
=101/56+155/104
=(1313+1085)/728
=2398/728
=3.21
割り切れた💦
171: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/07/31(木) 20:17:06.38 ID:pjVHkYGR(2/2) AAS
>>121
>>160
❤AとJokerにより残り51枚は三つのエリアに分割配置される.
等分なら17枚、❤は12枚、それ以外のスートが13枚ずつあり、4種類とも間に入る可能性はかなりある.
❤AとJokerがとなりあったら間は0枚0種類.
❤AとJokerの間が1枚のとき1種類.
2枚のとき1種類か2種類.
3枚のとき1種類か2種類か3種類.
4〜13枚のとき1種類か2種類か3種類か4種類.
14〜26枚のとき2種類か3種類か4種類.
27〜39枚のとき3種類か4種類.
40〜51枚のとき4種類.
概算で4×12/52+3.5×13/52+3×13/52+2.5×10/52+2×1/52+1.5×1/52+1×1/52+0×1/52
=12/13+7/8+13/14+25/52+1/26+3/104+1/52
=(49+52)/56+(96+50+4+3+2)/104
=101/56+155/104
=(1313+1085)/728
=2398/728
=3.21
割り切れた💦
172: 132人目の素数さん [sage] 2025/07/31(木) 20:39:46.57 ID:+g6XRK9w(1) AAS
❤AとJoker の間に♣が1枚以上ならぶ確率は♣13個と❤一個、J一個をならべて❤とJが並ばない確率であり1-14/₁₅C₂=13/15。よってCを❤とJのあいだにクラブがはいらないとき1、入るとき0をとる確率変数とすれば E(C) = 13/15。同様の確率変数をスペード、ダイア、❤A以外のハートについて定めたものを S,D,H とすれば E(S)=E(D)=13/15、E(H)=6/7。よって
E(C+S+D+H) = 13/15+13/15+13/15+6/7 = 121/35
173: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 00:58:23.45 ID:7Nw+VIWF(1) AAS
Let F be a finite set and Λ be a set of non empty subset of F, and align Λ = {λ₁,λ₂,...}.
Let (Aₘₙ) be a matrix of order 2^#F - 1 defined as :
. Aₘₙ = 1 ( if λₘ∩λₙ ≠ ∅ )
. = 0 ( if λₘ∩λₙ = ∅ ) .
Find det(Aₘₙ).
174: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 16:43:07.90 ID:U+vtQmLl(1/4) AAS
1元集合じゃないところは、1元集合たちの線型結合で書けそうだから0っぽい気がする
#F=1かどうかが罠だけど
175: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 20:02:02.72 ID:L7dFYWin(1/2) AAS

F={a,b} のとき Λ = {{a},{b},{a,b}} でこの表記の順どおりにならべたなら
Aₘₙ =
{{ 1,0,1 },
{ 0,1,1 },
{ 1,1,1 }}
で det(Aₘₙ) = -1。
176: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 20:56:26.94 ID:U+vtQmLl(2/4) AAS
あー0と1が逆か
177: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 21:50:20.75 ID:M2md+IIM(1) AAS
k元集合FのΛに対して(k+1)元集合F∪{c} (cはFに属さない元)のΛ'を
λ'_n = λ_n (n<2^kの時), λ_n∪{c} (2^k≦n<2^(k+1)-1の時), {c} (k=2^(k+1)-1の時)
と定めれば、行列A'は
A A O
A I I
O I 1
(ただし行、列ともに2^k-1, 2^k-1, 1で区切り。I は全ての値が1、Oは全ての値が0とする。)
の姿をしている。detを変えない変換により
A O O
O -A O
O O 1
にできるから、det(A') = -det(A)^2 = -1.
よってdetAはk=1の時1で、k>1の時-1.
178: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 22:10:07.97 ID:L7dFYWin(2/2) AAS
正解!
https://www.youtube.com/watch?v=BBA0sdb-aJ0

179: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 22:22:16.62 ID:U+vtQmLl(3/4) AAS
真面目にやろ

要素が1個増えると行列は
B0B
011
B11
の(n+1+n)×(n+1+n)ブロックになる。Bは要素を増やす前の行列
少し掃き出して
B0B
010
B00
真ん中を消して
BB
B0
というわけで、行列式はdetBdet(O-BB^{-1}B)ということは、サイズはつねに奇数だからマイナスが外に出て、-detB^2だから求める答は
#F≧2だと-1で他は1かなあ
自信ねえ
180: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 22:23:47.84 ID:U+vtQmLl(4/4) AAS
よかったあってた
181: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 14:59:23.43 ID:ji91oaUv(1/2) AAS
Determine the coefficient of the numerator, in the irreducible factor, of the coefficient of the Maclaurin expansion of (x²-x+1)exp(x).
182
(1): 132人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 18:53:59.98 ID:YL1BmXMV(1/2) AAS
(x^2-x+1)e^x=Σa_n x^nとして
a_nを約分したあとの分子を聞いてるんだよな

a0=1
a1=0で、n≧2だと
a_n=1/n!-1/(n-1)!+1/(n-2)!
=(n-1)/n(n-2)!
になるけど、n-1が素数のときはこれ以上約分できないからn-1
そうでなくて、素数の2乗でない場合は完全に約分できるから、1

素数の2乗のときは
n-1=p^2として
p+1≦q≦n-2となるpの倍数qがあるかどうかで決まって、あれば1でなければpが答になる

q=2pだけ考えればいいので、2p≦n-2かどうかを考える。n=p^2+1を代入して、2p≦p^2-1かどうかになり、
(p-1)^2≧2
なのでp=2つまり、n=5のときは2それ以外は1

まとめるとnが
0だと1
1だと0
5だと2
素数+1だとその素数
それ以外は1
かなあ
183
(1): 132人目の素数さん [] 2025/08/03(日) 19:11:02.13 ID:mL9auLBV(1) AAS
m, nは互いに素な自然数とする
分数(m+n-1)! / m!n!は自然数であることを証明せよ
184: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 19:37:25.18 ID:YL1BmXMV(2/2) AAS
m+n個からm個選ぶやり方の数がm+nで割り切れることを示したいから、選び方全体に群構造をいれて、位数がm+nの元を見つけてきたい(願望)
185: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 23:08:11.04 ID:ji91oaUv(2/2) AAS
>>182
正解!
https://youtu.be/99kUA-JMbVw?si=CAcqbnKmbpAM5vEK

186: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 06:31:20.55 ID:nGNfnz6K(1) AAS
白玉m個、赤玉n個円形に並べる場合の数ではダメ?
187: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 16:12:15.55 ID:wklzv92S(1/4) AAS
まあ変な願望は捨てて真面目に互除法の構造に対する帰納法でやると
m=1,n=1のときは自明
m,nについて成り立つと仮定して、m,m+nのときは
(m+m+n-1)!/m!(m+n)!
=(m+n-1)!/m!n! × _{2m+n-1}C_{m+n-1}
なので自然数
188: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 18:41:22.39 ID:wklzv92S(2/4) AAS
計算間違ってるやん
189
(1): 132人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 22:17:45.92 ID:AGReftOh(1) AAS
その方針でいけるん?
190: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 22:43:39.42 ID:wklzv92S(3/4) AAS
>>189
だめだっから最初の対称性を使って解き直したとこ
191: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 22:51:21.62 ID:wklzv92S(4/4) AAS
S=ℤ_{m+n}
X={x⊂S | #x=m}
として、#Xがm+nで割り切れることを示す

G={+rする平行移動 | r∈S}はXに作用する

x∈Xとg∈Gに対して、gx=xとするとg=e
なぜなら、a∈xを1個取ってきて、列g^kaを作るとどこかでaに戻ってくる。この長さをNとすると、これはaに依らないので、この軌道によりxは等分され、Nはmの約数である。gの平行移動量をrとすると、Nr=0であり、Nはm+nの約数である。よってN=1でr=0

というわけで、xの軌道Gxの要素数は#G=m+nになるため、#Xはm+nで割り切れる

あってるかな?
192: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/05(火) 00:22:49.96 ID:HCN69fB4(1) AAS
よさげ
193: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/05(火) 03:08:48.77 ID:Srdf2A9W(1) AAS
最後微妙に間違えてた
Nr=0で、Nとm+nも互いに素だから、Nで割れてr=0だった
194: 132人目の素数さん [] 2025/08/05(火) 08:29:03.65 ID:H+D/CLH1(1) AAS
例えば、基準を2^3(=8)で考えると、

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15
0-1-0-2-0-1-0-3-0-1 -0 -2 -0 -1 -0 ←素数2の因数の個数

こんな感じで対称性があるでしょ?
これは、基準となる素数の種類やその冪数に限らず成り立つので、
割り切れるのでは?
どうやって、証明するか分からないが。
195: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/05(火) 13:57:01.76 ID:MAmUP/aR(1) AAS
(n+m)_C_n = (n+m)!/(n!m!)
= (n+m) (n+m−1)!/(n!(m−1)!) / m
= (n+m) (n+m−1)_C_n / m

すなわち (n+m)_C_n = (n+m) (n+m−1)_C_n / m である。左辺は整数なので右辺も整数。
よって、(n+m) (n+m−1)_C_n は m で割り切れる。n,mは互いに素だから、
(n+m) と m は互いに素。よって、(n+m−1)_C_n は m で割り切れる。
特に、(n+m−1)_C_n / m は整数。

(n+m−1)_C_n / m = (n+m−1)!/(n!(m−1)!) / m = (n+m−1)!/(n!m!)

なので、(n+m−1)!/(n!m!) は整数。
196: 183 [] 2025/08/05(火) 14:17:44.93 ID:X4eXuEzQ(1) AAS
↑お見事です
197: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/06(水) 19:04:33.58 ID:jvXHE856(1) AAS
極限
lim[n→∞] n*{∫[0,1] {e^(-nx)}/(1+x^2) dx}
を求めよ。
198: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/06(水) 20:15:04.24 ID:UPpSHNbr(1) AAS
∫[0,1]n exp(-nx)/(1+x^2) dx
=∫[0,n] exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
=∫[0,∞) 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
被積分関数はnに関して単調増加だから、単調収束定理より
→∫[0,∞) lim 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
=∫[0,∞) exp(-y)dy
=1
199: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/07(木) 16:41:31.87 ID:v7ISirIJ(1) AAS
下記の東大の問題のような面白い定積分の極限の問題を教えてください!

lim[n→∞] n*[ ∫[1,2] log{(1+x^(1/n))/2} dx ]
200: 132人目の素数さん [] 2025/08/07(木) 20:59:17.54 ID:DhukNUyo(1) AAS
ちゃんと勉強したかを試す問題なのはわかる
で、どこがどう面白い?
201: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/11(月) 01:28:45.28 ID:fRqBIPZy(1) AAS
Find all non-constant functions
f:ℤ → ℤ
such that
f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) -1
holds for all x,y ∈ℤ.
202: 132人目の素数さん [] 2025/08/11(月) 17:07:17.30 ID:LKCAkMsb(1) AAS
宿題なんですが提出締め切り過ぎたので教えてください

a[1]>1 ,
a[1]+a[2]+…+a[n]=a[1]×a[2]×…×a[n] (n≧2) をみたす数列{a[n]}について、

( 1/(a[1]-1) + 1/(a[2]-1) + 1/(a[3]-1) + … + 1/(a[n]-1) )/n^2 のn→∞の極限を求めよ。
203: 132人目の素数さん [] 2025/08/11(月) 22:48:59.61 ID:Pq2BAI/Y(1/2) AAS
普通に再来月号を買えばいいだけの話なのに、こんなところでわざわざ解答乞食する理由は?
204: 132人目の素数さん [] 2025/08/11(月) 22:53:01.02 ID:Pq2BAI/Y(2/2) AAS
あと付け加えると、面白い問題とは思えない
205: 132人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 05:14:55.30 ID:08QF4Run(1) AAS
これ懸賞問題だったのか
あっぶ
206
(1): 132人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 10:06:34.48 ID:VI166Ty2(1/2) AAS
自然数nに対して
(1/x)+(1/y)=1/n
を満たす整数x, yの組は奇数組であることを証明せよ
207
(1): 132人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 13:00:58.39 ID:epvPvzIT(1) AAS
>>206
x=yの場合
x=y=2nで成立

x≠yの場合
xとyを入れ替えても成立するので偶数組

よって解の総数は奇数
208: 132人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 17:14:52.25 ID:VI166Ty2(2/2) AAS
>>207
お見事です
209: 132人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 19:22:49.38 ID:MToRQVN4(1) AAS
nが任意定数なのか、変数なのか?
奇数組って、xとyが奇数の組なのか、組の総数が奇数なのか?
日本語は解り難い言語やな。
210: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/12(火) 21:51:19.11 ID:9WhM+6C5(1) AAS
何にせよ少なくとも有限個かどうかは示さないとだめくね
211: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 03:48:00.47 ID:IPcCDEha(1) AAS
そういうことではないんじゃない?
xとyを入れ替えたものを除いても確かに奇数組ある

1
=1/2+1/2

1/2
=1/(-2)+1/1
=1/3+1/6
=1/4+1/4

1/3
=1/(-6)+1/2
=1/4+1/12
=1/6+1/6

1/4
=1/(-12)+1/3
=1/(-4)+1/2
=1/5+1/20
=1/6+1/12
=1/8+1/8
212
(1): 132人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:03:31.29 ID:v773YyBJ(1/5) AAS
a₁ < 2 の場合は初項を a₁/(a₁-1) にとりかえれば第3項以降は同じになるので a₁ ≧ 2 と仮定してよい。Sₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ、Pₙ = Πₖ₌₁ⁿaₖ とする。aₙ₊₁ = Sₙ/(Pₙ-1) が成立する。
213: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:03:35.79 ID:v773YyBJ(2/5) AAS
補題 Sₙ = Pₙ
(∵) n=1 では明らかに成立する。n=m で成立すると仮定する。aₘ₊₁ = Sₘ/(Pₘ-1) = Sₘ/(Sₘ-1) であるから Sₘ₊₁ = aₘ₊₁ + Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1) + Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1)、Pₘ₊₁ = aₘ₊₁Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1)Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1) により n=m+1 でも成立する。□
214: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:03:50.45 ID:v773YyBJ(3/5) AAS
補題 n+1 ≦ Sₙ ≦ a₁ + n + log(n)
(∵)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≦ Sₙ + 1 + 1/(n+1) + 1/(n+1)² + ..
= Sₙ + 1 + 1/n
≦ a + n +1 + log(n) + 1/n
≦ a + n +1 + log(n+1)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≧ n+2

215: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:04:31.05 ID:v773YyBJ(4/5) AAS
1/(aₙ-1) = 1/( Sₙ₋₁/(Sₙ₋₁-1) - 1 ) = Sₙ₋₁-1 (∀n≧2 )
216: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:04:36.38 ID:v773YyBJ(5/5) AAS
Σₖ₌₁ⁿ1/(aₖ-1) = 1/2n(n+1) + o(n²)
217: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 15:57:23.97 ID:+55xP2/J(1) AAS
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/{x^(n)} dx
を求めよ。
218
(1): 132人目の素数さん [] 2025/08/13(水) 20:45:15.57 ID:nQyqYDxf(1) AAS
n>r>sを満たす自然数n, r, sに対し、二項係数nCrとnCsは互いに素ではないことを証明せよ
219: 132人目の素数さん [] 2025/08/13(水) 21:12:51.40 ID:YyYKqHVs(1) AAS
>>212 -216
すばらしい。ありがとうございます。

それにひきかえしょーもない書き込みしかできない203ときたら。
220: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/14(木) 01:55:06.66 ID:itMo6PT5(1) AAS
上で言われてる雑誌の懸賞って話は本当なの?
221: 132人目の素数さん [] 2025/08/14(木) 05:29:03.55 ID:/DikW1nE(1) AAS
知らんがな
222: 132人目の素数さん [] 2025/08/14(木) 19:50:05.44 ID:/CzpVmg3(1) AAS
出題者本人が否定しないならガチなんだろう
まあ〆切過ぎてるなら別に問題ないけどな
223: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/15(金) 12:41:46.38 ID:yd6fSpXf(1) AAS
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/x dx
を求めよ。
224
(1): 132人目の素数さん [sage] 2025/08/15(金) 13:20:09.53 ID:IcJOCdHO(1) AAS
極限と積分が入れ替えられない問題にしないと意味ないやろ
225: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/15(金) 14:13:02.28 ID:n4KBK1iW(1) AAS
>>224
私の出題は東大受験生が解くレベルの問題を想定しております
従いまして高校範囲での解答を期待します
226: 132人目の素数さん [] 2025/08/15(金) 17:21:07.65 ID:5OgVZXhc(1/2) AAS
異なる17個の自然数を、どの隣り合う4個の自然数の和も100以上になるように横に並べる
17個の自然数の和が最小になるような並べ方を一つ示せ
227: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/15(金) 21:06:16.97 ID:oC7J3nsx(1) AAS
1,49,11,39,2,48,12,38,3,47,13,37,4,46,14,36,5
228: 132人目の素数さん [] 2025/08/15(金) 22:05:55.91 ID:5OgVZXhc(2/2) AAS
お見事です
229: 132人目の素数さん [sage] 2025/08/16(土) 05:21:13.76 ID:v5em7mVI(1) AAS
>>218
答えプリーズ
1-
スレ情報 赤レス抽出 画像レス抽出 歴の未読スレ AAサムネイル

ぬこの手 ぬこTOP 0.026s