ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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941(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 08:58:44.38 ID:XknlDm4+(1/10) AAS
>>934
>A' := { g:Λ→∪_{λ∈Λ} X_λ | 任意のλ∈Λに対してg(λ)∈Xλ }
>とする。存在例化により選択関数f∈A'が存在する。

1）存在例化は、下記 ja.wikipedia.org ＆ en.wikipedia.orgの意味と解していいかな？
　もしそうならば、存在例化とは新しい定数記号cを導入できること
　”must be a new term”であること
　「証明の結論部にも現れてはならない」”it also must not occur in the conclusion of the proof”
　ってこと
2）ということは、存在例化で記号cを導入することは、なんら新しいことを導入したのではなく
　単に、証明を読みやすく簡明にするために「存在記号 ∃ を消す」が、しかし結論には影響しない！
　ってことでは？
3）ならば、”存在例化により選択関数f∈A'が存在する”という上記陳述が
　ナンセンスだと思うぜ

実際、解析概論でも、多変数関数論のテキストで良いが
「これが、存在例化でございます！」って、存在例化が威張っている証明ってあるかな？
（en.wikipedia では、”but its explicit statement is often left out of explanations”ってあるけど、所詮その程度のしろものじゃないの？ｗ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%BE%8B%E5%8C%96
存在例化
存在例化（そんざいれいか、英: Existential instantiation, Existential elimination）[1][2][3]は、述語論理において、
(∃x)ϕ(x)
という形式を持った式が与えられると、新しい定数記号cについて
ϕ(c)を推論することができるという、妥当な推論規則のひとつである。この規則は、導入された定数cが、証明にはこれまで用いられてこなかった新しい項でなければならないという制約を有する。
また、証明の結論部にも現れてはならない。

https://.org/wiki/Existential_instantiation
Existential instantiation
In predicate logic, existential instantiation (also called existential elimination)[1][2] is a rule of inference which says that, given a formula of the form
(∃x)ϕ(x), one may infer
ϕ(c) for a new constant symbol c. The rule has the restrictions that the constant c introduced by the rule must be a new term that has not occurred earlier in the proof, and it also must not occur in the conclusion of the proof. It is also necessary that every instance of
x which is bound to
∃x must be uniformly replaced by c.
, but its explicit statement is often left out of explanations.

945(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 09:35:15.64 ID:XknlDm4+(2/10) AAS
>>932
(引用開始)
>>26
（引用開始）
(3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理))
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ }
としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である．
即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．
もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．
（引用終了）
選択関数はAの元なんだから、Aがwell-definedなら選択関数の存在は自明だけどその証明が無いのでは？
(引用終り)

それ >>26 https://alg-d.com/math/ac/wo_z.html が、元のリンクだね？ alg-d 壱大整域さんに質問しなよ、喜んでくれるだろう
それとは別に、他の証明と照らし合わせるのが良い、というか常用のスジだ
下記 ”Zorn's lemma implies the axiom of choice”の証明で
集合族で和集合”its union U:=⋃X”が一つのスジだ
それで、下記関数 f:X→U を導入する。これが、最後選択関数になるんだろう
Zorn's lemma に乗せるために、順序 ”It is partially ordered by extension; i.e.,”を導入する
で、この順序で ”The function g is in P and f<g, a contradiction to the maximality of f.”として結局 fが極大で
即ち fが選択関数だと

繰り返すが、上記 alg-d 壱大整域さんと下記 en.wikipedia を見比べてみな

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma
Zorn's lemma

Zorn's lemma implies the axiom of choice
A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17]

Given a set X of nonempty sets and its union
U:=⋃X
(which exists by the axiom of union), we want to show there is a function
f:X→U such that
f(S)∈S for each
S∈X. For that end, consider the set
P={f:X′→U∣X′⊂X,f(S)∈S}.
It is partially ordered by extension; i.e.,
f≤g if and only if
f is the restriction of g. If
fi:Xi→U
is a chain in P, then we can define the function f on the union
X′=∪iXi by setting
f(x)=fi(x) when
x∈Xi. This is well-defined since if i<j, then
fi is the restriction of fj . The function
f is also an element of P and is a common extension of all fi's. Thus, we have shown that each chain in
P has an upper bound in P. Hence, by Zorn's lemma, there is a maximal element
f in P that is defined on some X′⊂X. We want to show
X′=X. Suppose otherwise; then there is a set
S∈X−X′. As S is nonempty, it contains an element s. We can then extend
f to a function g by setting g|X′=f and g(S)=s. (Note this step does not need the axiom of choice.) The function g is in P and f<g, a contradiction to the maximality of f. ◻

950: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 09:56:20.09 ID:XknlDm4+(3/10) AAS
>>945 補足
>A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17]

えーと、最後の [17]を見ると下記だ
Notes
17 Halmos 1960, § 16. Exercise.
References
Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, New Jersey: D. Van Nostrand Company.
https://en.wikipedia.org/wiki/Naive_Set_Theory_(book)
Naive Set Theory (book)

うーんと、海賊版を探すと
Naive set theory.
Halmos, Paul R. (Paul Richard), 1916-2006.
Princeton, N.J., Van Nostrand, [1960]

があった (下記文字化けと乱丁ご容赦)
Sec. 16 ZORN'S LEMMA p65
Exercise.
Zorn's lemma is equivalent to the axiom of choice.
[Hint
for the proof: given a set X, consider functions /such that dom/C
(P(X), ran/dX, and f(A)eA for all A in dom/; order these functions
by extension, use Zorn's lemma to find a maximal one among them, and
prove that if/ismaximal, then dom/= <P(X)
—
{0}.] Consider each
of the following statements and prove that they too are equivalent to
the axiom of choice.
(i)
Every partially ordered set has a maximal
chain (i.e., a chain that
is
not
a
proper subset of any other chain).
(ii)
Every chain in
a
partially ordered set
is
included in some maximal chain.
(iii) Every partially ordered set in which each chain has
a
least upper
bound has a maximal element.
(引用終り)

か
解答はないかな？・・・ないね・・；ｐ）

959(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 10:58:08.62 ID:XknlDm4+(4/10) AAS
>>945 補足
　あのさ >>932 っておサルの言っていること、ショボクね？
　弥勒菩薩氏から、おっさん基礎論自慢するから ”基礎論婆”とか呼ばれて
　じゃあ、おっさんどれだけ基礎論詳しいんだ？と思ったら、このサマか
　笑えるますｗｗｗ；ｐ）

960: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 10:59:51.68 ID:XknlDm4+(5/10) AAS
>>959 タイポ訂正

　じゃあ、おっさんどれだけ基礎論詳しいんだ？と思ったら、このサマか
　笑えるますｗｗｗ；ｐ）
　　　↓
　じゃあ、おっさんどれだけ基礎論詳しいんだ？と思ったら、このザマか
　笑えますｗｗｗ；ｐ）

969(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 13:38:49.08 ID:XknlDm4+(6/10) AAS
>>965-966
一言で言えば
>「Aがwell-definedである証明が無い」
>になるんだけど、

じゃあ、聞くけど
　>>945の(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma
Zorn's lemma
Zorn's lemma implies the axiom of choice
A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17]

これは、認めるのかな？ｗ；ｐ）

972(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 15:19:30.59 ID:XknlDm4+(7/10) AAS
>>969 >>971

じゃあ、聞くけど
下記の尾畑研東北大
”定理12.23 選択公理とツオルンの補題は同値である”けど
この証明は？認めるんだろうね？

で？ >>945より
（引用開始）
(3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理))
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ }
としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である．
即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．
もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．
（引用終了）
に何を補えば良かったのかな？ｗ；ｐ）
存在例化か？ｗｗ；ｐ）

(参考)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研東北大
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
第11章選択公理
第12章順序集合ツォルンの補題

P157 選択公理
(AC2) Ωを空でない集合族とする．もし鵬Ωであれば,写像f:Ω→UΩ
ですべてのX∈Ωに対してf(x) ∈ Xとなるものが存在する．この写像
fを集合族Ωの選択関数という．

P184
定理12.23 選択公理とツオルンの補題は同値である
証明ツオルンの補題を用いて選択公理(AC2)を証明すればよいΩを空で
ない集合族でΦ∈Ωとする．部分集合D∈Ωと写像f:D→UΩの対(D,f）
で,すべてのA∈Dに対してｆ(A) ∈Aを満たすものの全体をZとする
まず､Zは空ではない．実際.A∈Ωを1つとれば,A≠0よりα∈Aが存在す
る写像f: {A}→UΩをf(A) =αで定義すれば,明らかに({A},f)∈Z
である．次に,Z上の2項関係(D1,f1) <､(D2,f2）をD1⊂ D2であり，すべて
のA∈D1に対してf1(A) = f2(A)が成り立つものと定義すると, (z, <)は順
序集合になる．
(z, <)がツオルン集合になることを示そう
与えられた全順序部分集合y⊂Z
に対して,Ωの部分集合を
ε= U(D,f)∈y D （12.3）
とおいて;写像g：ε→UΩを次のように定義する．任意のx∈ε対し
て．ある(D,f)∈yが存在してx∈D となるので, g(x)=f(x)とおく

ここでx∈Dを満たす(D,f) ∈yの選び方は一意的ではないが.選び方によら
ず.f(x）は一定であるから写像gが定義できるこのことを確認しておこう
(D1,f1),(D2,f1) ∈ yで x∈D1,x∈D2 とする
yが全順序部分集合だから、
Dl⊂D2またはD2⊂ D1が成り立つ.いずれにせよf1 (x) = f2(x)となり､
確かにg(x)の値はx∈D,(D,f)∈yの取り方によらない
明らかに, (ε, g)は
zの元であって,yの上限である．したがって, (z, <)はツォルン集合である
(z, <)にツォルンの補題を適用すれば.極大元(D.f)∈Zが存在する
もし,D≠Ωであれば Ao∈Ω＼ Dが存在する
Aoは空ではないのでαo∈Aoをとって．
h(A)=a0 A=A0, f(A) A∈D
とおくと,写像h:D∪{A0}→∪Ωが得られる
明らかに(DU{Ao},h) ∈Z
であり, (D,f)く(D U {Ao},h) ∈ Zとなる
これは(D,f)∈Zが極大元であることに矛盾する．
よって、D=Ωであり,fはΩの選択関数である■

973: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 17:37:28.37 ID:XknlDm4+(8/10) AAS
>>972 タイポ訂正と補足

＜タイポ訂正＞（他にも文字化けなどあると思うが原文PDFご参照）
(AC2) Ωを空でない集合族とする．もし鵬Ωであれば,写像f:Ω→UΩ
　　↓
(AC2) Ωを空でない集合族とする．もしΦ not∈ Ωであれば,写像f:Ω→UΩ

＜補足＞（3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理)のステートメントを押えておこう；ｐ）
https://alg-d.com/math/ac/wo_z.html
順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)

https://alg-d.com/math/ac/
alg-d 壱大整域
選択公理と同値な命題とその証明
https://alg-d.com/math/ac/ac.html
選択公理について
2019年09月17日更新
定義
Xを集合とするとき，次の条件を満たす写像 f: X＼{∅} → ∪x∈X x を集合 X の選択関数という．
任意の非空集合 x∈X に対して f(x)∈x
次の命題を選択公理と呼ぶ．

選択公理任意の集合は選択関数を持つ．
定義
全射 g: Λ→A をΛを添え字集合とする集合族という．Xλ := g(λ) と置いて，この集合族を{X_λ}_{λ∈Λ}で表すことが多い．
また，次の条件を満たす写像f: Λ→∪_{λ∈Λ}X_λを集合族{X_λ}_{λ∈Λ}の選択関数という．
任意のλ∈Λに対して f(λ)∈Xλ
集合族{X_λ}_{λ∈Λ}の選択関数全体からなる集合をΠ_{λ∈Λ}X_λで表す．f∈Π_{λ∈Λ}X_λに対して xλ := f(λ) と置くとき，f = ( xλ )λ∈Λ 等と表すことがある．

975(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 18:10:16.33 ID:XknlDm4+(9/10) AAS
所詮、数学科といえども
学部や修士レベルでは
どうせ講義やゼミのタネ本ありの他人の受け売りにすぎない！ｗ；ｐ）

それを、”自分の言葉”だと錯覚する
オチコボレさんのおサル>>7-10
あわれｗｗｗ；ｐ）

979(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/15(土) 19:50:54.99 ID:XknlDm4+(10/10) AAS
院試の口頭試問ならば、話は別だが
ここ 5ｃｈのカキコで自分の言葉とかｗｗｗｗｗ
自分何さまだ？数学科修士卒だ？卒業証書さらせよｗｗｗｗ
幼稚園児か小学生みたいなカキコしかできないやつがよ
数学科修士卒だ？わらかすな！！ｗｗｗｗ

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