[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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945(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 09:35:15.64 ID:XknlDm4+(2/10) AA×
>>932>>26>>26

https://alg-d.com/math/ac/wo_z.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma

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945: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 09:35:15.64 ID:XknlDm4+ >>932 (引用開始) >>26 （引用開始） (3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理)) {X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする． A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ } としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である． 即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ． もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である． （引用終了） 選択関数はAの元なんだから、Aがwell-definedなら選択関数の存在は自明だけどその証明が無いのでは？ (引用終り) それ >>26 https://alg-d.com/math/ac/wo_z.html が、元のリンクだね？ alg-d 壱大整域さんに質問しなよ、喜んでくれるだろう それとは別に、他の証明と照らし合わせるのが良い、というか 常用のスジだ 下記 ”Zorn's lemma implies the axiom of choice”の証明で 集合族で 和集合”its union U:=⋃X”が一つのスジだ それで、下記 関数 f:X→U を導入する。これが、最後 選択関数になるんだろう Zorn's lemma に乗せるために、順序 ”It is partially ordered by extension; i.e.,”を導入する で、この順序で ”The function g is in P and f<g, a contradiction to the maximality of f.”として 結局 fが極大で 即ち fが 選択関数だと 繰り返すが、上記 alg-d 壱大整域さん と 下記 en.wikipedia を見比べてみな (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma Zorn's lemma Zorn's lemma implies the axiom of choice A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17] Given a set X of nonempty sets and its union U:=⋃X (which exists by the axiom of union), we want to show there is a function f:X→U such that f(S)∈S for each S∈X. For that end, consider the set P={f:X′→U∣X′⊂X,f(S)∈S}. It is partially ordered by extension; i.e., f≤g if and only if f is the restriction of g. If fi:Xi→U is a chain in P, then we can define the function f on the union X′=∪iXi by setting f(x)=fi(x) when x∈Xi. This is well-defined since if i<j, then fi is the restriction of fj . The function f is also an element of P and is a common extension of all fi's. Thus, we have shown that each chain in P has an upper bound in P. Hence, by Zorn's lemma, there is a maximal element f in P that is defined on some X′⊂X. We want to show X′=X. Suppose otherwise; then there is a set S∈X−X′. As S is nonempty, it contains an element s. We can then extend f to a function g by setting g|X′=f and g(S)=s. (Note this step does not need the axiom of choice.) The function g is in P and f<g, a contradiction to the maximality of f. ◻ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/945
引用開始 引用開始 の補題 選択公理 を非空集合の族とする 任意のに対して としてに で順序を入れるを部分全順序集合とするとき は の上界である 即ち はの補題の仮定を満たす故に極大元 を持つ もし であれば が極大であることに反するので となる故に は選択関数である 引用終了 選択関数はの元なんだからがなら選択関数の存在は自明だけどその証明が無いのでは？ 引用終り それ が元のリンクだね？ 壱大整域さんに質問しなよ喜んでくれるだろう それとは別に他の証明と照らし合わせるのが良いというか 常用のスジだ 下記 の証明で 集合族で 和集合 が一つのスジだ それで下記 関数 を導入するこれが最後 選択関数になるんだろう に乗せるために順序 を導入する でこの順序で として 結局 が極大で 即ち が 選択関数だと 繰り返すが上記 壱大整域さん と 下記 を見比べてみな 参考

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