[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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907(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/01(土) 08:27:52.47 ID:lDxwqd7y(1/4) AAS
>>877
ID:BnEwySZf は、御大か
＞１０００回繰り返しても足りないようだ
なるほど、下記
いつもお世話になっている
alg-d 壱大整域氏
選択公理→ (整列可能定理)
これ分かり易いかも
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”で
順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
なる g を 導入しているんだ
で、写像 g の全単射を 言う
なるほどね
そうすると、置換公理を使う証明は、無理筋かも
循環論法になる恐れがある、多分 （不可能の証明は 難しいので いまは深入りしないことに）
(参考)（蛇足だが P(X)は、Xの冪集合。なお。原サイトの方が見やすいよ）
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題
定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．
順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る．
選択公理を A := P(X)＼{ ∅ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
Xに含まれない元 ∞ ∉ X を用意して，f( ∅ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．
写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
で定義する．
α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
∵β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．即ち g(α) ∉ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．
よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．
これは ¬|λ|≦|X| に矛盾する．故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．
そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ: γ→X は全単射である．
∵∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = ∅，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．
よってこれによりXを整列する事ができる．
(2 ⇒ 3)略す
(3 ⇒ 1)略す
おまけ
(2⇒1)略す
913(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/01(土) 13:47:03.95 ID:lDxwqd7y(2/4) AAS
>>909
>やめたら？
ID:CqhFjAXa は、御大か
プロ数学者がいうのは
プロ数学者から見て
レベルの低い 数学初級者丸見えの つまらんレスを ”止めれ！” ということだろう
『１０００回繰り返しても足りない』（>>877より）
とのプロのアドバイス
レベルの低い 数学初級者丸見えの つまらんレスの
相手を １０００回繰り返して 意味が無いという
なるほどと思って検索すると >>907の いつもお世話になっている
alg-d 壱大整域氏の
選択公理→ (整列可能定理) が すぐ見つかった(>>907)
alg-d 壱大整域氏 >>907の
証明 (1 ⇒ 2) の本質は
Xの冪集合 P(X)＼{ ∅ } に 選択公理の選択関数 を適用すると
それが 如何なる 選択関数を採用したとしても
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”
なる g を 導入して
順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
の 全単射 写像 g が構成できる
順序数と Xとの 全単射 が構成できるということは、
即ち Xに整列順序が導入できたということ
レベルの低い 数学初級者丸見えの つまらんレスの
相手を １０００回繰り返して 意味が無いという アドバイス
なるほど
よく分りましたｗ ；ｐ）
917(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/01(土) 14:55:42.18 ID:lDxwqd7y(3/4) AAS
>>916
>>808(参考)(再掲)>>631より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)
ここで
”Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired,”
の部分、”the order < on A defined by aα<aβ”だね
αとβが順序数で
順序数の添え字を使って、Aに順序を導入する
順序数は、整列順序であるから
Aに整列順序が導入できた
918: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/01(土) 14:56:18.91 ID:lDxwqd7y(4/4) AAS
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