[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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1(6): １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 09:57:08.60 ID:2b7XvZNh(1/10) AAS
前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる
2chｽﾚ:math
前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11
このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）
資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0
＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
2chｽﾚ:math 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik
＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)
あと、テンプレ順次
つづく
903: １３２人目の素数さん [] 2025/01/31(金) 16:54:07.74 ID:ZEnaPUQ0(14/14) AAS
>>901は証明になってなかった。
任意のs∈Sについて存在例化を適用できるからといって、Sの無限個の元すべてに適用できるとは言えない。それができるならそもそも選択公理は自明。
904: １３２人目の素数さん [sage] 2025/01/31(金) 18:05:47.48 ID:RjxG7czP(1) AAS
粗大ごみ教授は論文書くと昂奮して一時間50レス、1日200レスする
905: １３２人目の素数さん [] 2025/01/31(金) 19:14:50.36 ID:BnEwySZf(10/10) AAS
OK＝岡潔？
906: １３２人目の素数さん [sage] 2025/01/31(金) 20:08:02.83 ID:uxf2uT9e(8/8) AAS
OK=oll korrect
907(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/01(土) 08:27:52.47 ID:lDxwqd7y(1/4) AAS
>>877
ID:BnEwySZf は、御大か
＞１０００回繰り返しても足りないようだ
なるほど、下記
いつもお世話になっている
alg-d 壱大整域氏
選択公理→ (整列可能定理)
これ分かり易いかも
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”で
順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
なる g を 導入しているんだ
で、写像 g の全単射を 言う
なるほどね
そうすると、置換公理を使う証明は、無理筋かも
循環論法になる恐れがある、多分 （不可能の証明は 難しいので いまは深入りしないことに）
(参考)（蛇足だが P(X)は、Xの冪集合。なお。原サイトの方が見やすいよ）
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題
定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．
順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る．
選択公理を A := P(X)＼{ ∅ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
Xに含まれない元 ∞ ∉ X を用意して，f( ∅ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．
写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
で定義する．
α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
∵β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．即ち g(α) ∉ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．
よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．
これは ¬|λ|≦|X| に矛盾する．故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．
そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ: γ→X は全単射である．
∵∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = ∅，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．
よってこれによりXを整列する事ができる．
(2 ⇒ 3)略す
(3 ⇒ 1)略す
おまけ
(2⇒1)略す
908: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 11:03:52.79 ID:YIkJbYsl(1/5) AAS
>>907
>選択公理を A := P(X)-{φ} に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
ほらみろ、fの定義域はP(X)-{φ}じゃん
>写像 g:λ→X∪{∞} を
>g(α ) := f( X-{g(β)|β<α} )
>で定義する．
ほらみろ、ここでfの定義なんてしてないじゃん
当たり前だよね、fを使って定義されたgを使ってfを定義したら循環になるんだから
>これ分かり易いかも
分かってないの君だけ
909(2): １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 11:07:50.16 ID:CqhFjAXa(1/2) AAS
やめたら？
910(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 11:30:51.36 ID:O6ZvKR+h(1/13) AAS
>>909
◆yH25M02vWFhPが
非論理的な連想ゲームを
やめたら？という提案に
全面的に賛同
911(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 11:51:27.35 ID:CqhFjAXa(2/2) AAS
>>910
yH25M02vWFhP？
ちょっと見つからない
912: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 11:56:13.60 ID:O6ZvKR+h(2/13) AAS
>>911
お迎えが近い
913(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/01(土) 13:47:03.95 ID:lDxwqd7y(2/4) AAS
>>909
>やめたら？
ID:CqhFjAXa は、御大か
プロ数学者がいうのは
プロ数学者から見て
レベルの低い 数学初級者丸見えの つまらんレスを ”止めれ！” ということだろう
『１０００回繰り返しても足りない』（>>877より）
とのプロのアドバイス
レベルの低い 数学初級者丸見えの つまらんレスの
相手を １０００回繰り返して 意味が無いという
なるほどと思って検索すると >>907の いつもお世話になっている
alg-d 壱大整域氏の
選択公理→ (整列可能定理) が すぐ見つかった(>>907)
alg-d 壱大整域氏 >>907の
証明 (1 ⇒ 2) の本質は
Xの冪集合 P(X)＼{ ∅ } に 選択公理の選択関数 を適用すると
それが 如何なる 選択関数を採用したとしても
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”
なる g を 導入して
順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
の 全単射 写像 g が構成できる
順序数と Xとの 全単射 が構成できるということは、
即ち Xに整列順序が導入できたということ
レベルの低い 数学初級者丸見えの つまらんレスの
相手を １０００回繰り返して 意味が無いという アドバイス
なるほど
よく分りましたｗ ；ｐ）
914: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 13:59:39.07 ID:YIkJbYsl(2/5) AAS
>>913
>Xの冪集合 P(X)＼{Φ} に 選択公理の選択関数 を適用すると
選択関数の定義域の濃度は|X|ではなく|P(X)|
よって誰かさんの独善持論は嘘デタラメでしたとさ
915: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 14:01:09.15 ID:YIkJbYsl(3/5) AAS
>>913
>順序数と Xとの 全単射 が構成できるということは、
>即ち Xに整列順序が導入できたということ
証明できる？
916(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 14:05:54.02 ID:YIkJbYsl(4/5) AAS
まあ初級問題だから簡単にできるだろうね
まさかできないのに分かったふりしてることは無いだろう
917(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/01(土) 14:55:42.18 ID:lDxwqd7y(3/4) AAS
>>916
>>808(参考)(再掲)>>631より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)
ここで
”Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired,”
の部分、”the order < on A defined by aα<aβ”だね
αとβが順序数で
順序数の添え字を使って、Aに順序を導入する
順序数は、整列順序であるから
Aに整列順序が導入できた
918: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/01(土) 14:56:18.91 ID:lDxwqd7y(4/4) AAS
次スレを立てた
ここを使い切ったら、次スレへ
2chｽﾚ:math
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13
919: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 15:06:52.35 ID:YIkJbYsl(5/5) AAS
>>917
>順序数は、整列順序であるから
>Aに整列順序が導入できた
順序数の通常の大小関係が整列順序だとなぜAに整列順序が導入できたことになるか分かる？
920: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 16:12:57.66 ID:O6ZvKR+h(3/13) AAS
>>913
それは数学初級者である自分のレベルの低さを批判した発言ですね
921: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 16:16:16.82 ID:O6ZvKR+h(4/13) AAS
＞次スレを立てた
いい加減 己の無能をさらし続けるのはやめたら
微分積分ダメ
線型代数ダメ
集合論 ダメ
要するに大学初級の数学 全部ダメ
真面目に論理を勉強しないかぎり
連想ゲームでは間違い続けるばかりだよ
922: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 16:20:56.44 ID:O6ZvKR+h(5/13) AAS
2chｽﾚ:math
大学１年の数学も分からん数学初級者に
ガロア第一論文も乗数イデアルもわかるわけない
923: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 16:25:14.77 ID:O6ZvKR+h(6/13) AAS
2chｽﾚ:math
論理が読めない人が、おとぎ話だけ読んでも
自己愛を肥大させて発●するだけだからやめときなさい
924: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 16:27:42.26 ID:O6ZvKR+h(7/13) AAS
2chｽﾚ:math
論理が読めない人が、おとぎ話だけ読んでも
自己愛を肥大させて発●するだけだからやめときなさい
鳥無き里のコウモリ は あなた
925: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 16:32:45.24 ID:O6ZvKR+h(8/13) AAS
2chｽﾚ:math
昔、ある人に
「ｎ本のベクトルが線型独立かどうか、どうやって判別する？」
と尋ねたら、
「シュミットの直交化法を使う」
とのたまった
もちろん、それでできないことはないが、分かってる大学生はそういうことは言わない
階段化の方法を使えばいい なぜそれで独立だと示せるかも、簡潔に答えられる
ここが理学部数学科と工学部なんちゃら工学科の分岐点である
926: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 16:37:17.60 ID:O6ZvKR+h(9/13) AAS
2chｽﾚ:math
二項関係Rは xRy & yRz のとき xRz を満たすとき 推移律を満たす、という
＜は推移律を満たすが、∈は推移律を満たさない
たったこれだけのことが理解できないとしたら、
そいつは言葉と論理を知るヒトではなく
言葉も論理も知らぬサルである
927: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 16:38:40.48 ID:O6ZvKR+h(10/13) AAS
理学部数学科に入って生きていけるのはヒトだけだ
サルは工学部なんちゃら工学科で職業訓練受けて
社奴でもなんでもなればいい ほかに能がないのだから
928: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 16:41:18.52 ID:O6ZvKR+h(11/13) AAS
生成AIは言葉を理解しているわけではない
やってることは只の連想ゲームでありサル芸である
929: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 16:47:05.18 ID:O6ZvKR+h(12/13) AAS
もちろん工学部の中にもヒトはいる
ただしそれは断じて◆yH25M02vWFhPではない
930: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 17:01:35.10 ID:O6ZvKR+h(13/13) AAS
数学は囲碁将棋のような下らぬ勝負事ではない
勝負はサルのすること
931: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 07:19:55.41 ID:bvvTKD+8(1/3) AAS
囲碁はくだらないものだがそれでも
という前置きで
道を説くのにたとえとして用いたのが
孟子
魔方陣はくだらないものだがと前置きして
魔方陣の作り方を解説したのが
高木貞治
932: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 07:53:19.64 ID:eC5TmypE(1/39) AAS
別に囲碁や魔法陣で遊んではいけないとはいってないんじゃね？
すべてを白か黒かで考えるのは●違い
933: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 08:02:53.43 ID:eC5TmypE(2/39) AAS
◆yH25M02vWFhPは、実数論、線形代数に続き、集合論でも初歩で敗北した
要するに定義に基づいて定理を論理で証明するという道筋をたどらず
ただ直感で納得しようとする精神で連想ゲームするからエテ公から抜け出せない
まあ、エテ公は三角関数の加法定理の公式だけ丸暗記して
計算機械になりはてなさいってこった
どうせエテ公は「数学とは方程式の解法」としか思ってないんだろう
やれガロア理論がーとかいってるけど、要するに方程式の解法以外興味がない
だからいくらガロア理論の本を読んでも自分が欲しい情報がどこにもなくて目が滑りまくる
チラ見しかできないというのはそういうこと
934: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 08:05:43.54 ID:eC5TmypE(3/39) AAS
◆yH25M02vWFhPは、実数の定義の意味が理解できない
極限の定義だけでは役に立たない
役に立つのはコーシー列であれば極限が存在するという定理
この定理の前提として実数の定義が必要
という認識がないなら、ヒトではなくサルの段階
935: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 08:10:49.73 ID:eC5TmypE(4/39) AAS
◆yH25M02vWFhPは、線形独立と基底の意味が理解できない
線型空間を抽象的に定義しても、基底が有限個なら数ベクトル空間と同型になることが示せる
だから、数ベクトル空間での具体的な扱いに還元できる
線型独立の判定に数ベクトルに対する「階段化」の手続きが使えるのはそういうこと
この認識がないなら、ヒトではなくサルの段階
936: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 08:14:18.65 ID:eC5TmypE(5/39) AAS
◆yH25M02vWFhPは、選択公理が一種の「無限版ドモルガンの法則」であると理解できない
無限個の任意の空でない集合に対してそれぞれ要素がとれるなら
任意の空でない集合とその要素の対、という選択関数が存在する
集合論とは一種の無限論理である
この認識がないなら、ヒトではなくサルの段階
937: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 08:18:05.50 ID:eC5TmypE(6/39) AAS
大学１年の数学は、算数における九九のようなものである
わかってしまえば大したことではないし
わかることなしには何も正しい計算ができない
もちろん、九九を覚えてなくても足し算すればいいが、時間を浪費する
九九だけ覚えればいいかもしれんが、九九の表の作り方が分からなければ覚え間違いを正せない
所詮理系の大学１年生全員に教えることなんてその程度のことだが
それを知らずして大学出ましたなんてデカい面するのはいい笑いもの
938: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 08:23:05.36 ID:eC5TmypE(7/39) AAS
理学部数学科は別に数学者養成所でなくていい
数学者を養成するのは大学院
中学・高校の数学教師といえども
数学がいかなる学問か知っておいたほうがいい
そのための大学の学部なのである
金が大学の数学教授
銀が中学高校の数学教師
銅が数学つかう理系出身者
鉄は算数しか知らんそこらの一般人
まあ、正直言って、そこらの一般人だけでこの世は回るんだが、それは内緒
939: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 08:54:06.43 ID:eC5TmypE(8/39) AAS
数学の研究の全てが後世に伝わるとは限らない
大して面白くないと思ったら伝わらない
940: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 08:55:20.37 ID:eC5TmypE(9/39) AAS
一次元より多次元、低次元より高次元、が価値があるとは限らない
941(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 08:56:52.65 ID:bvvTKD+8(2/3) AAS
一次元の場合が面白かったら
高次元化してみたくなる
942(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 09:00:50.03 ID:bvvTKD+8(3/3) AAS
複素解析の場合
一次元の理論は１９世紀数学の最高峰であり
岡潔、小平邦彦、広中平祐らによる
高次元化は素晴らしかった
943: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 10:20:02.70 ID:eC5TmypE(10/39) AAS
>>941
>一次元の場合が面白かったら高次元化してみたくなる
だからといって、より面白くなるとは限らない
944: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 10:21:25.15 ID:eC5TmypE(11/39) AAS
>>942
具体的に言える？
945(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 10:29:12.30 ID:eC5TmypE(12/39) AAS
共形場理論も面白いのは空間１次元時間１次元の２次元の場合
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%A2%E5%A0%B4%E7%90%86%E8%AB%96
「一般に(2+1次元以上の時空では)共形変換群は有限個の生成子からなる有限次元リー群である。
しかし、空間1次元＋時間1次元(d=2)の2次元共形場理論場合に限り、
共形変換群SO(2,2)は正則関数の等角写像の変換群（無限次元リー群）に拡張される。
この場合共形変換群SO(2,2)は無限個の生成子からなる代数(ヴィラソロ代数)の部分代数となる。」
946: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 10:43:23.18 ID:5scbwZz/(1) AAS
メモ貼ります
tenasaku.com/academia/
藤田博司 愛媛大
tenasaku.com/academia/notes/lss07_fujita_release.pdf
ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル
藤田博司(愛媛大学理学部) 2007 年数学基礎論サマースクール
静岡大学にて2007年9月4日〜7日
執筆にあたっては, Solovayの原論文のほか, Jechのモノグラフの第2版[6]と第3版[7], Kanamoriのモノグラフ[8], Kunen の教科書[10]などを参考にしました. その他の参考文献については末尾の文献リストをごらんください.
[6] T. Jech, Set Theory (2nd Ed.), Springer (1997)
tenasaku.com/academia/notes/historyDST20150429.pdf
記述集合論誕生秘話 藤田博司2015 年4月29日
tenasaku.com/academia/notes/20040301.pdf
記述集合論ノート (2004年2月)
記述集合論ノート藤田博司2004年2月17日〜18日,神戸大学
researchmap.jp/fujitahiroshi/
藤田 博司 フジタ ヒロシ
researchmap.jp/fujitahiroshi/presentations?limit=100
講演・口頭発表等
researchmap.jp/fujitahiroshi/presentations/15026805/attachment_file.pdf
アンリ・ルベーグ『解析的に表示できる函数について』と記述集合論
藤田博司
第175回 数学文献を読む会 2016年6月17日
947: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 10:53:09.14 ID:xCU1/P+P(1) AAS
>複素解析の場合
>一次元の理論は１９世紀数学の最高峰であり
その要点は
SiegelのTopicsの第１，第２巻に書いてある
>岡潔、小平邦彦、広中平祐らによる
>高次元化は素晴らしかった
そこからの展開の一端が
SiegelのTopicsの第３巻に書いてある
948: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/02(日) 17:15:45.87 ID:f3BDXVWP(1) AAS
>>945
面白いというより
まさに奥行きがあって奥深い。
949: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 19:07:52.10 ID:eC5TmypE(13/39) AAS
2chｽﾚ:math
>Xの元を すきな順番に整列できる
P(X)-{φ}からその要素を選択する選択関数をどう決めるか次第でね
ただ選択関数を決めてしまったら順番は一意だけど
2chｽﾚ:math
>>順番は選択関数で一意に定まる。
> 典型的な、大学数学 オチコボレさんか？
◆yH25M02vWFhP がな
まさか自分が大学数学理解できてるとうぬぼれてる？
950: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 19:16:41.47 ID:eC5TmypE(14/39) AAS
逆に整列からP(X)-{φ}の各々の最小元を選ぶ選択関数を作る方法では
P(X)-{φ}の任意の選択関数が実現されるわけではない
951: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:29:32.94 ID:eC5TmypE(15/39) AAS
2chｽﾚ:math
> 数学の証明は、その背後の数学的構造を反映する鏡であり
> 数学の証明を理解することは、背後の数学的構造を理解すること
つまり実数も線形空間も集合も数学的構造を誤解してるから
証明がまったく読めず誤解した、ということですね
952: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:36:31.46 ID:eC5TmypE(16/39) AAS
１と異なる0.999…が存在しないこと
⇔
[0,1)∩[0.9,1)∩[0.99,1)∩…＝{}であること
953: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:37:16.84 ID:eC5TmypE(17/39) AAS
実数の連続性（じっすうのれんぞくせい、continuity of real numbers）とは、
実数の集合がもつ性質である。
有理数はこの性質を持たない。
954: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:37:47.48 ID:eC5TmypE(18/39) AAS
実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。
また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。
955: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:38:44.41 ID:eC5TmypE(19/39) AAS
実数の連続性と同値な命題は多数存在する。
956: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:39:39.25 ID:eC5TmypE(20/39) AAS
デデキントの公理
(A,B)を実数の集合Rの切断とすれば、
Aに最大元があってBに最小元がないか、
Bに最小元があってAに最大元がないか
のいずれかである。
957: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:41:15.82 ID:eC5TmypE(21/39) AAS
上限性質
Rは上限性質 (least upper bound property) をもつ。
つまり、Rの空でない上に有界な部分集合は上限を持つ。
これは双対性の原理から次と同値である。
Rは下限性質 (greatest lower bound property) をもつ。
つまり、Rの空でない下に有界な部分集合は下限を持つ。
これらの上限性質をもつ（つまり、下限性質をもつ）ことを
ワイエルシュトラスの公理を満たすともいう。
958: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:42:16.63 ID:eC5TmypE(22/39) AAS
有界単調数列の収束定理
959: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:42:36.05 ID:eC5TmypE(23/39) AAS
アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす
960: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:43:15.51 ID:eC5TmypE(24/39) AAS
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
961: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:43:57.91 ID:eC5TmypE(25/39) AAS
アルキメデス性を持ち、かつ、コーシー列は収束する
962: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:44:28.32 ID:eC5TmypE(26/39) AAS
中間値の定理
963: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:45:00.18 ID:eC5TmypE(27/39) AAS
最大値の定理
964: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:45:34.02 ID:eC5TmypE(28/39) AAS
ロルの定理
965: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:45:57.54 ID:eC5TmypE(29/39) AAS
ラグランジュの平均値の定理
966: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:46:57.51 ID:eC5TmypE(30/39) AAS
コーシーの平均値の定理
967: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:48:41.98 ID:eC5TmypE(31/39) AAS
ハイネ・ボレルの定理
968: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:55:24.58 ID:eC5TmypE(32/39) AAS
体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して
Aが正則行列である、すなわち、
AB=E=BAを満たす n 次正方行列 B が存在すること
と同値な条件は多数存在する
969: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:55:59.50 ID:eC5TmypE(33/39) AAS
AB = E となる n 次正方行列 B が存在する
BA = E となる n 次正方行列 B が存在する
970: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:56:29.44 ID:eC5TmypE(34/39) AAS
A の階数は n である
971: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:57:05.98 ID:eC5TmypE(35/39) AAS
A は左基本変形のみによって単位行列に変形できる
A は右基本変形のみによって単位行列に変形できる
972: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:57:33.13 ID:eC5TmypE(36/39) AAS
一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない
973: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:57:53.32 ID:eC5TmypE(37/39) AAS
A の行列式は 0 ではない
974: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:58:17.96 ID:eC5TmypE(38/39) AAS
A の列ベクトルの族は線型独立である
A の行ベクトルの族は線型独立である
975: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 21:58:45.88 ID:eC5TmypE(39/39) AAS
A の固有値は、どれも 0 でない
976: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:15:25.18 ID:RHKFtm92(1/25) AAS
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは
公理的集合論における公理のひとつで、
どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、
それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。
1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。
977: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:15:56.76 ID:RHKFtm92(2/25) AAS
以下の命題は全て選択公理と同値である。
つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、
逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。
978: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:16:19.54 ID:RHKFtm92(3/25) AAS
整列可能定理：任意の集合は整列可能である。
979: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:17:05.43 ID:RHKFtm92(4/25) AAS
ツォルンの補題；順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。
980: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:17:32.23 ID:RHKFtm92(5/25) AAS
テューキーの補題：有限性（英語版）を満たす空でない任意の集合族は包含関係に関する極大元を持つ。
981: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:18:08.18 ID:RHKFtm92(6/25) AAS
比較可能定理：任意の集合の濃度は比較可能である。
982: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:18:45.24 ID:RHKFtm92(7/25) AAS
直積定理：無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。
983: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:19:05.67 ID:RHKFtm92(8/25) AAS
右逆写像の存在：全射は右逆写像を有する。
984: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:21:45.75 ID:RHKFtm92(9/25) AAS
ケーニッヒ（Julius König）の定理：濃度の小さい集合の直和より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。
985: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:22:36.40 ID:RHKFtm92(10/25) AAS
ベクトル空間における基底の存在：全てのベクトル空間は基底を持つ（ただし、正則性公理が必要になる）
986: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:23:17.07 ID:RHKFtm92(11/25) AAS
チコノフの定理：コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクトになる。
987: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:23:57.08 ID:RHKFtm92(12/25) AAS
クルルの定理：単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。
988: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:33:33.69 ID:RHKFtm92(13/25) AAS
選択公理は別に成り立たなくても矛盾しない
989: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:34:02.65 ID:RHKFtm92(14/25) AAS
箱入り無数目で、確率Pで勝てる戦略があってもなくても矛盾しない
990: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:35:07.08 ID:RHKFtm92(15/25) AAS
選択公理が成り立つなら箱入り無数目で確率Pで勝てる戦略が存在する
箱入り無数目で確率Pで勝てる戦略が存在しないなら選択公理は成り立たない
991: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:14:16.73 ID:RHKFtm92(16/25) AAS
手を動かしてまなぶ ε-δ論法
1．数列の極限と連続の公理
2．連続関数
3．関数項級数と一様収束
4．関数の微分
5．リーマン積分
6．リーマン積分の応用
992: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:15:09.04 ID:RHKFtm92(17/25) AAS
1．数列の極限と連続の公理
§1 数列の極限（その１）
§2 数列の極限（その２）
§3 連続の公理（その１）
§4 連続の公理（その２）
993: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:15:26.34 ID:RHKFtm92(18/25) AAS
2．連続関数
§5 関数の極限
§6 関数の連続性とワイエルシュトラスの定理
§7 中間値の定理と逆関数
994: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:15:54.83 ID:RHKFtm92(19/25) AAS
3．関数項級数と一様収束
§8 級数
§9 関数項級数とべき級数
§10 上極限と下極限
§11 一様収束
§12 指数関数と三角関数
995: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:16:26.00 ID:RHKFtm92(20/25) AAS
4．関数の微分
§13 微分に関する基本事項
§14 べき級数の項別微分
§15 三角関数と双曲線関数
§16 対数関数とべきの一般化
§17 逆三角関数
996: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:16:49.17 ID:RHKFtm92(21/25) AAS
5．リーマン積分
§18 定義と基本的性質
§19 可積分条件（その１）
§20 可積分条件（その２）
§21 連続関数の一様連続性とリーマン積分
§22 項別積分と項別微分
997: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:17:16.16 ID:RHKFtm92(22/25) AAS
6．リーマン積分の応用
§23 広義積分
§24 曲線の長さ
998: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:18:58.68 ID:RHKFtm92(23/25) AAS
手を動かしてまなぶ 集合と位相
1．集合
2．写像と二項関係
3．濃度と選択公理
4．ユークリッド空間
5．距離空間（その１）
6．位相空間
7．連結性とコンパクト性
8．距離空間（その２）
9．分離公理とコンパクト性の一般化
999: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:19:35.60 ID:RHKFtm92(24/25) AAS
1．集合
§1 集合の定義
§2 集合の演算
§3 全体集合
2．写像と二項関係
§4 写像
§5 全射，単射と合成写像
§6 集合系と集合族
§7 二項関係
§8 商集合とwell-definedness
3．濃度と選択公理
§9 濃度
§10 ベルンシュタインの定理
§11 整列集合
§12 選択公理
1000: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:20:35.01 ID:RHKFtm92(25/25) AAS
サラヴァ
1001(1): 1001 [] ID:Thread(1/2) AAS
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