[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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976: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:15:25.18 ID:RHKFtm92(1/25) AAS
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは
公理的集合論における公理のひとつで、
どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、
それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。
1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。
977: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:15:56.76 ID:RHKFtm92(2/25) AAS
以下の命題は全て選択公理と同値である。
つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、
逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。
978: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:16:19.54 ID:RHKFtm92(3/25) AAS
整列可能定理：任意の集合は整列可能である。
979: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:17:05.43 ID:RHKFtm92(4/25) AAS
ツォルンの補題；順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。
980: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:17:32.23 ID:RHKFtm92(5/25) AAS
テューキーの補題：有限性（英語版）を満たす空でない任意の集合族は包含関係に関する極大元を持つ。
981: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:18:08.18 ID:RHKFtm92(6/25) AAS
比較可能定理：任意の集合の濃度は比較可能である。
982: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:18:45.24 ID:RHKFtm92(7/25) AAS
直積定理：無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。
983: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:19:05.67 ID:RHKFtm92(8/25) AAS
右逆写像の存在：全射は右逆写像を有する。
984: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:21:45.75 ID:RHKFtm92(9/25) AAS
ケーニッヒ（Julius König）の定理：濃度の小さい集合の直和より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。
985: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:22:36.40 ID:RHKFtm92(10/25) AAS
ベクトル空間における基底の存在：全てのベクトル空間は基底を持つ（ただし、正則性公理が必要になる）
986: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:23:17.07 ID:RHKFtm92(11/25) AAS
チコノフの定理：コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクトになる。
987: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:23:57.08 ID:RHKFtm92(12/25) AAS
クルルの定理：単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。
988: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:33:33.69 ID:RHKFtm92(13/25) AAS
選択公理は別に成り立たなくても矛盾しない
989: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:34:02.65 ID:RHKFtm92(14/25) AAS
箱入り無数目で、確率Pで勝てる戦略があってもなくても矛盾しない
990: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:35:07.08 ID:RHKFtm92(15/25) AAS
選択公理が成り立つなら箱入り無数目で確率Pで勝てる戦略が存在する
箱入り無数目で確率Pで勝てる戦略が存在しないなら選択公理は成り立たない
991: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:14:16.73 ID:RHKFtm92(16/25) AAS
手を動かしてまなぶ ε-δ論法
1．数列の極限と連続の公理
2．連続関数
3．関数項級数と一様収束
4．関数の微分
5．リーマン積分
6．リーマン積分の応用
992: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:15:09.04 ID:RHKFtm92(17/25) AAS
1．数列の極限と連続の公理
§1 数列の極限（その１）
§2 数列の極限（その２）
§3 連続の公理（その１）
§4 連続の公理（その２）
993: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:15:26.34 ID:RHKFtm92(18/25) AAS
2．連続関数
§5 関数の極限
§6 関数の連続性とワイエルシュトラスの定理
§7 中間値の定理と逆関数
994: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:15:54.83 ID:RHKFtm92(19/25) AAS
3．関数項級数と一様収束
§8 級数
§9 関数項級数とべき級数
§10 上極限と下極限
§11 一様収束
§12 指数関数と三角関数
995: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:16:26.00 ID:RHKFtm92(20/25) AAS
4．関数の微分
§13 微分に関する基本事項
§14 べき級数の項別微分
§15 三角関数と双曲線関数
§16 対数関数とべきの一般化
§17 逆三角関数
996: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:16:49.17 ID:RHKFtm92(21/25) AAS
5．リーマン積分
§18 定義と基本的性質
§19 可積分条件（その１）
§20 可積分条件（その２）
§21 連続関数の一様連続性とリーマン積分
§22 項別積分と項別微分
997: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:17:16.16 ID:RHKFtm92(22/25) AAS
6．リーマン積分の応用
§23 広義積分
§24 曲線の長さ
998: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:18:58.68 ID:RHKFtm92(23/25) AAS
手を動かしてまなぶ 集合と位相
1．集合
2．写像と二項関係
3．濃度と選択公理
4．ユークリッド空間
5．距離空間（その１）
6．位相空間
7．連結性とコンパクト性
8．距離空間（その２）
9．分離公理とコンパクト性の一般化
999: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:19:35.60 ID:RHKFtm92(24/25) AAS
1．集合
§1 集合の定義
§2 集合の演算
§3 全体集合
2．写像と二項関係
§4 写像
§5 全射，単射と合成写像
§6 集合系と集合族
§7 二項関係
§8 商集合とwell-definedness
3．濃度と選択公理
§9 濃度
§10 ベルンシュタインの定理
§11 整列集合
§12 選択公理
1000: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 15:20:35.01 ID:RHKFtm92(25/25) AAS
サラヴァ
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