スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

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910: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/18(水) 17:33:15.14 ID:B/ePC74M

>>902
>アルキメデスの性質から示せるって
>アルキメデスの性質、分かる？

下記のヴィタリ集合の非可測の証明と同じスジだよ
下記を百回音読したあと
ルベーグ測度を勉強してね、オチコボレさんｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう、英: Vitali set）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算個のヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。

重さに最も近い一般化はσ-加法性を持つルベーグ測度である。この測度は [a, b] の長さに b − a を割り当て、可算集合である有理数全体の集合には 0 を割り当てる。ルベーグ測度が定められる集合をルベーグ可測集合と呼ぶ。しかし、ルベーグ測度の構成（カラテオドリの拡張定理を使う）自体からは非可測集合の存在は明らかに分かることではない。その問題に対する答えは選択公理を仮定するかどうかをも問うことになる。

構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。

R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v − r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算であり、
u,v∈V,u≠v
であれば v − u は必ず無理数である。

ヴィタリ集合は非可測である。これを示すために V が可測だったとして矛盾を導く。
略すが
（概要は、ヴィタリ集合Vが可測だとして、その測度をλ(V)として
　[−1, 1] の有理数の数え上げを使って、Vの平行移動の集合を作ると
　それらを集めたものは、区間[-1,2]に入る
　有理数は、可算無限なので
　1≦Σλ(V)≦3 が導かれる（Σλ(V)は、λ(V)の可算無限和を表す）
　λ(V)が有限ならば∞に発散し、0ならばその和も0で矛盾。よって 測度λ(V)は存在しえないとなる）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/910

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