スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

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706: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/15(日) 16:53:45.06 ID:8VnUw5mp

>>703
あなたは、箱入り無数目のR^Nの数学的構造が分っていないね
すでに　>>559-560で説明した通りだが、再度説明する

可算無限数列R^N から、形式的冪級数環（無限次）R[[x]]ができる (記号R[[x]]は、>>560より)
即ち R^N ←→ R[[x]] という対応がとれる
集合としては、一対一だが、R[[x]]には環としての構造が入るので
分かり易い

その一例が、しっぽ同値だ
　>>559では、指数関数 e^x の級数展開（マクローリン展開）から
級数展開の係数をならべて、可算無限数列が構成できることを述べた

e^x+f(x) ここに f(x)はn次多項式
e^x+f(x)とe^xとは、しっぽ同値
つまり、その係数を比較すると、n+1次以降の係数がすべて一致している

f(x)は、多項式環から任意に選べる つまり f(x)∈F[x] (記号F[x]は、>>560都築より)
よって、e^xのしっぽ同値類を、簡便にe^x+F[x]と書こう

同様に、三角関数 sin x を考えると、明らかに e^xとは しっぽ同値ではない（その級数展開から自明）
sin xのしっぽ同値類は、sin x+F[x]と書ける

このように、原点0に極を持たない解析函数(これをT(x)として)の級数展開から、可算無限数列ができて
しっぽ同値は、T(x)+F[x] となる

いま、同値類T(x)+F[x]の元は、T(x)+f(x) (f(x)はn次多項式)であって
しっぽの一致は、n+1次から。よって、この場合の決定番号dは、d=n+1となる

さて、e^xのしっぽ同値類の代表を 簡便にe^xとし、同値類から一つの元 e^x+f(x) で f(x)は k次とする 決定番号d=k+1
同様、sin xのしっぽ同値類の代表を 簡便にsin xとし、同値類から同様にk'次多項式f'(x)のついた元を選び 決定番号d'=k'+1

とできる。これは、作為として、人の意志によってできる
d<d'でも、d=d'でも、d>d'でも、作為として 人の意志によってできる

では、不作為ないし無作為として、決定番号 d,d' を選ぶ行為が可能か？ が問題となる
このときの 障害が、F[x]が無限次元線形空間だということ（>>560都築）です
つまり、無限次元線形空間のF[x]から 如何なる大きな次数kの多項式を選んだとしても、kが有限だから 無限次元空間から有限kを選ぶ行為を
不作為ないし無作為として、正当化することは 不可能！ ということです

これが、箱入り無数目のトリックです
不作為ないし無作為に出来ないことを、確率99/100と誤魔化しています
（数学的には、コルモゴロフの確率公理を満たせない。特に、決定番号に測度の裏付けを与えられない。また 全事象に確率1を与えられません）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/706

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