スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋22 (1002ﾚｽ)
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1: １３２人目の素数さん [] 2024/08/30(金) 10:41:18.06 ID:qldKhyXj

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる
(”ヘンテコスレ”が別にあります https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1711570726/ 箱入り無数目を語る部屋19 )

https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1723899226/
前スレ スレタイ 箱入り無数目を語る部屋21

(参考)時枝記事
https://imgur.com/a/8bqlb08
数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/401-406
純粋・応用数学（含むガロア理論）8 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/1

910: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/18(水) 17:33:15.14 ID:B/ePC74M

>>902
>アルキメデスの性質から示せるって
>アルキメデスの性質、分かる？

下記のヴィタリ集合の非可測の証明と同じスジだよ
下記を百回音読したあと
ルベーグ測度を勉強してね、オチコボレさんｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう、英: Vitali set）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算個のヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。

重さに最も近い一般化はσ-加法性を持つルベーグ測度である。この測度は [a, b] の長さに b − a を割り当て、可算集合である有理数全体の集合には 0 を割り当てる。ルベーグ測度が定められる集合をルベーグ可測集合と呼ぶ。しかし、ルベーグ測度の構成（カラテオドリの拡張定理を使う）自体からは非可測集合の存在は明らかに分かることではない。その問題に対する答えは選択公理を仮定するかどうかをも問うことになる。

構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。

R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v − r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算であり、
u,v∈V,u≠v
であれば v − u は必ず無理数である。

ヴィタリ集合は非可測である。これを示すために V が可測だったとして矛盾を導く。
略すが
（概要は、ヴィタリ集合Vが可測だとして、その測度をλ(V)として
　[−1, 1] の有理数の数え上げを使って、Vの平行移動の集合を作ると
　それらを集めたものは、区間[-1,2]に入る
　有理数は、可算無限なので
　1≦Σλ(V)≦3 が導かれる（Σλ(V)は、λ(V)の可算無限和を表す）
　λ(V)が有限ならば∞に発散し、0ならばその和も0で矛盾。よって 測度λ(V)は存在しえないとなる）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/910

963: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/20(金) 11:28:33.42 ID:4YvyoyGy

>>961
ふっふ、ほっほ確率空間 三つ組 (S, E, P) 下記
確率測度とは、可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことです
さて、確率空間 三つ組 (S, E, P)を定めるという意味は、確率として扱えない対象があるということ

例えば、”完全加法族 E”から外れる ヴィタリのような非可測な集合は扱えない
別の重要な例で、Sが大きすぎる場合があります。例えば、下記 例 実数からなる区間 [0, 1] とそのボレル集合族 B からなる可測空間 ([0, 1], B)

これは良いが、区間 [0, 1]→ 全R(-∞,+∞) とすることはできない。明らかに 上記例の測度そのままでは、 P(S) →∞ に発散します
（なお、正規分布のように、-∞,+∞ で指数関数的に減衰する対象に対してはできます。つまり、∞を含む区間では”減衰”がキーワードなのです）

同様に、自然数Nのような無限集合でも、∞を含む区間では”減衰”が必要です
例えば、”減衰”なしで、自然数Nや整数Zから、二つの数d1,d2を取って、確率 P(d1≦d2)＝1/2 という議論はできません
同様に、無限次元の線形空間 多項式環F[X]から 二つの多項式f1(x),f2(x)を取って、それらの次数 d1,d2を取って、確率 P(d1≦d2)＝1/2 という議論もできません

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%96%93
確率空間（英: probability space）とは、可測空間 (S, M) に確率測度 μ(S) = 1 を入れた測度空間 (S, M, μ) をいう。根元事象が無数にあるなどの場合は、確率をラプラスの古典的確率で定義することができず、確率を公理的確率として定義することがアンドレイ・コルモゴロフにより提唱されている。確率空間とは、そのために必要な概念である。

概要
根元事象が無数にある場合は、確率をラプラスの古典的確率で定義することができない。
最近では測度論の研究はほとんど確率論の研究と同義になっている。
直観的に確率空間とは、起こりうる事象を全て集めてきて、それらの頻度を表す確率関数がある空間のことである。

定義
確率論において、確率測度とは、可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象と呼ぶ。また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の確率という。つまり、E は確率が定義できることがら全体である。
S の部分集合が必ずしも事象とは限らないことに注意されたい。

例
実数からなる区間 [0, 1] とそのボレル集合族 B からなる可測空間 ([0, 1], B) 上でルベーグ測度 μ を考えれば、μ([0, 1]) の値は区間の長さ |[0, 1]| = 1 − 0 = 1 に等しいので、μ は ([0, 1], B) 上の確率測度であり、三つ組 ([0, 1], B, μ) は確率空間になる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_space
Probability space

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/963

973: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/20(金) 15:29:36.36 ID:4YvyoyGy

>>963より再録
ふっふ、ほっほ 確率空間 三つ組 (S, E, P) 下記
確率測度とは、可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことです
さて、確率空間 三つ組 (S, E, P)を定めるという意味は、確率として扱えない対象があるということ

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_space
Probability space

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/973

986: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/21(土) 22:09:42.35 ID:UH10GdZ2

>>827 補足
(引用開始)
みんながよく知っているように、空間には計量が入れられるものと 入れられない場合とがある
可算無限数列R^Nや しっぽ同値はどうか？
よく知っているように、ここには計量が入らない
そういう対象には、確率測度は入らない
(引用終り)

・ここでいう 計量は、主にhypervolumeを考えています。
・他の計量として、内積（Inner product）が考えられますが、内積は確率測度とは直接は結びつきません
・可算無限数列R^Nは、内積（Inner product）を入れると ヒルベルト空間になると言われています
・しっぽ同値の空間は、”F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つ無限次元”（都築暢夫 広島大 www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf）
　と考えると、内積（Inner product）は考えられます
・しかし、体積については、常にあるn次より大きい次元の部分空間を持つので、n次の体積は0です

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space
Inner product space

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。
古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、
自乗可積分関数の空間 L^2、
自乗総和可能数列の空間 ℓ^2、
超関数からなるソボレフ空間 H^s、
正則関数の成すハーディ空間 H^2などが
挙げられる。

en.wikipedia.org/wiki/Volume
Volume
Zero-, one- and two-dimensional objects have no volume; in four and higher dimensions, an analogous concept to the normal volume is the hypervolume.

en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball
n球の体積

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/986

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