[過去ﾛｸﾞ] 面白い数学の問題おしえて～な 43問目 (1002ﾚｽ)
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928(1): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/03/17(月) 09:09:57.93 ID:5ZmBqY2F(1/3) AAS
前>>924訂正。
>>800
図を描くと、直角三角形の辺の比より、
2√2：1=4√2/3：2/3
∴y座標の最大値、短径=2/3
929(1): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/03/17(月) 10:17:18.51 ID:5ZmBqY2F(2/3) AAS
前>>928訂正。
>>800
図を描くと、
円錐を出発点(1,0,0)と最遠点(-1/2,0,√2)とy座標の最高到達点(0,b,√2/2)を通る平面で切ると断面は楕円で、
楕円の長軸はピタゴラスの定理より、
√｛(3/2)^2+(√2)^2｝=√17/2
楕円の長径は√17/2÷2=√17/4
楕円の短径は、
もしもyの正方向がy座標最大なら、
直角三角形の辺の比より、
2√2：1=4√2/3：b'
b'=2/3
実際には円錐の裾野のほうがz軸から離れるから、
y座標が最大になるのはx座標がx＞0の点にずれる。
楕円の中心の座標は(1/4,0,√2/2)
y座標の最高到達点(1/4,b,√2/2)のbは、
直角三角形の辺の比より、
√｛b^2-(1/4)^2｝：3√2/2=2√2：1
√｛b^2-(1/4)^2｝=6
b^2-1/16=36
b^2=36+1/16=577/16
b=√577/4=6.005……
∴y座標の最大値=√577/4
930(2): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/03/17(月) 12:26:00.84 ID:5ZmBqY2F(3/3) AAS
前>>929
>>800
図を描くと、
円錐を出発点(1,0,0)と最遠点(-1/2,0,√2)とy座標の最高到達点(1/4,b,√2/2)を通る平面で切ると断面は楕円で、
楕円の長軸はピタゴラスの定理より、
√｛(3/2)^2+(√2)^2｝=√17/2
楕円の長径は√17/2÷2=√17/4
楕円の短径は、
もしもyの正方向がy座標最大なら、
直角三角形の辺の比より、
2√2：1=4√2/3：b'
b'=2/3
実際には円錐の裾野のほうがz軸から離れるから、
y座標が最大になるのはx座標がx＞0の点にずれる。
楕円の中心の座標は(1/4,0,√2/2)
y座標の最高到達点(1/4,b,√2/2)のbは、
ピタゴラスの定理より、
√｛b^2+(1/4)^2｝=2/3
b^2=4/9-1/16=(64-9)/144
b=√55/12=0.6180165405……
∴y座標の最大値=√55/12
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