[過去ﾛｸﾞ] 複素解析 (1002ﾚｽ)
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931: １３２人目の素数さん [] 2022/09/25(日) 13:10:17.29 ID:R5QTp6Wd(1/8) AAS
>>926
それこそCauchyの成分表示で正則関数が作れる
934(3): １３２人目の素数さん [] 2022/09/25(日) 17:33:01.10 ID:R5QTp6Wd(2/8) AAS
f(w): given on |w|=1
g(z):= ∫_{|w|=1} f(w)/(w-z) dw is holomorphic on |z|<1
935: １３２人目の素数さん [] 2022/09/25(日) 17:35:18.12 ID:R5QTp6Wd(3/8) AAS
>>934
1/(2πi) 倍を忘れた
938(1): １３２人目の素数さん [] 2022/09/25(日) 19:13:37.83 ID:R5QTp6Wd(4/8) AAS
>>937
単位円周上の関数f(w)を勝手に与えると、その値を境界値にもち内部で正則な関数が g(z)
943: １３２人目の素数さん [] 2022/09/25(日) 23:43:44.22 ID:R5QTp6Wd(5/8) AAS
>>941
>>934をもう一度良く整理して書くと、
単位円周上の任意の連続関数 f(w) (|w|=1) を与えたとき、
g(z) ：= 1/(2πi) * ∫_{|w|=1} f(w)/(w-z) dw
と定義すると、g(z) は内部 |z|<1 で正則となる．
944: １３２人目の素数さん [] 2022/09/25(日) 23:46:44.02 ID:R5QTp6Wd(6/8) AAS
>>941
求めた正則関数は g(z) だから、コーシーの積分定理を使って 0 は g(z) について成立するが、
その式は g(z) の周回積分だから、結果2重積分になる（答は0）。
しかし、与えた関数 f(w) は円周でしか定義されていない連続関数であることに注意。
945(2): １３２人目の素数さん [] 2022/09/25(日) 23:47:33.32 ID:R5QTp6Wd(7/8) AAS
>>945
ちなみに、証明はコーシーの積分表示から直ちに分かります。
946: １３２人目の素数さん [] 2022/09/25(日) 23:51:35.05 ID:R5QTp6Wd(8/8) AAS
>>941
> よって，1／ｚと同じ値を単位円周上で取りながら、
> 周を含めて単位円盤上で正則な関数は存在しないはずだよ。
境界の円周まで込めて正則というのであれば、それは無理。
私の答も円の内部 |z|<1 としています。
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