分からない問題はここに書いてね458

[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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679: １３２人目の素数さん [] 2020/03/16(月) 19:18:36.76 ID:8zVl3xLP

>>667
後半、typoや議論の重複があるので、少し丁寧めにまとめるとこうなるかな？

(補題1)　(□には <、≦、>、≧ のうちどれか1つが入る)
i □ √{j(n+1)}
⇔i^2 □ (n+1)j
⇔(n-i+1)^2=(n+1-i)^2=(n+1)(n+1-2i)+i^2 □ (n+1)(n+1-2i)+(n+1)j=(n+1)(n-2i+j+1)
⇔(n-i+1)^2 □ (n+1)(n-2i+j+1)
⇔n-i+1 □ √(n-2i+j+1)(n+1)

(補題2) 補題1でiにi+1とかjにj-1やj+1を入れたものを含めると、次の4つがわかる
i □ √{(j-1)(n+1)}⇔n-i+1 □ √(n-2i+j)(n+1)
i □ √{j(n+1)}⇔n-i+1 □ √(n-2i+j+1)(n+1)
i+1 □ √{j(n+1)}⇔n-i □ √(n-2i+j-1)(n+1)
i+1 □ √{(j+1)(n+1)}⇔n-i □ √(n-2i+j)(n+1)

この補題2の4つを使うと、次の3つのことがいえる

[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が2個含まれる
⇔あるjが存在し, i≦√{j(n+1)},√{(j+1)(n+1)}<i+1
⇔あるjが存在し, √{(n-2i+j)(n+1)}<n-i,n-i+1≦√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は0個含まれる

[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が1個のみ含まれる
⇔あるjが存在し, √{(j-1)(n+1)}<i≦√{j(n+1)}<i+1≦√{(j+1)(n+1)}
⇔あるjが存在し, √(n-2i+j-1)(n+1)<n-i≦√(n-2i+j)(n+1)<n-i+1≦√(n-2i+j+1)(n+1)
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は1個含まれる

[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が0個含まれる
⇔あるj(0かnかもしれない)が存在し, √{j(n+1)}<i,i+1≦√{(j+1)(n+1)}
⇔あるj(0かnかもしれない)が存在し, n-i≦√{(n-2i+j)(n+1)},√{(n+1)(n-2i+j+1)}<n-i+1
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は2個含まれる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/679

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