[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む81 (1002ﾚｽ)
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921(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/30(木) 09:55:16 ID:FGHjh5kd(3/15) AAS
>>915
或る3以上の整数nが存在して、何れも或る3つの正整数 x、y、z が存在して、x^n+y^n＝z^n が成り立つとする。
Euclid 平面 R^2 上の半径1の円周をCで表す。Euclid 平面 R^2 上の半径1の円周を C' で表す。
仮定から、nは固定された3以上の整数だから、仮定において成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n から、
固定された3つの正整数 x、y、z の大小関係について、0＜x＜z、0＜y＜z が両方共に成り立つ。
仮定から x、y、z は何れも有理整数だから、x、y、z∈Z。また、有理数体Qは有理整数環Zの商体だから、Z⊂Q。
よって、z＞0 から、x/z、y/z∈Q。0＜x＜z だから、0＜x/z＜1。同様に、0＜y＜z だから、0＜y/z＜1。
仮定において成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n の両辺を z^n で割ると、(x/z)^n+(y/z)^n＝1 を得る。
a＝x/z とおく。b＝y/z とおく。このとき、0＜a＜1、0＜b＜1、a^n+b^n＝1 が何れも共に成り立つ。
c＝√(a^2+b^2) とおく。c＞0 であり、a^n+b^n＝1 だから、n≧3 から (a/c)^n＋(b/c)^n＝1/c^n を得る。
a、b、c、及びCの各定義から、平面 R^2 上において点 A(a/c,b/c) は円周C上に存在して、(a/c)^2＋(b/c)^2＝1
922(2): １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/30(木) 10:00:06 ID:FGHjh5kd(4/15) AAS
>>915
>>921は取り消し。
或る3以上の整数nが存在して、何れも或る3つの正整数 x、y、z が存在して、x^n+y^n＝z^n が成り立つとする。
Euclid 平面 R^2 上の半径1の円周をCで表す。Euclid 平面 R^2 上の半径1の円を C' で表す。
仮定から、nは固定された3以上の整数だから、仮定において成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n から、
固定された3つの正整数 x、y、z の大小関係について、0＜x＜z、0＜y＜z が両方共に成り立つ。
仮定から x、y、z は何れも有理整数だから、x、y、z∈Z。また、有理数体Qは有理整数環Zの商体だから、Z⊂Q。
よって、z＞0 から、x/z、y/z∈Q。0＜x＜z だから、0＜x/z＜1。同様に、0＜y＜z だから、0＜y/z＜1。
仮定において成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n の両辺を z^n で割ると、(x/z)^n+(y/z)^n＝1 を得る。
a＝x/z とおく。b＝y/z とおく。このとき、0＜a＜1、0＜b＜1、a^n+b^n＝1 が何れも共に成り立つ。
c＝√(a^2+b^2) とおく。c＞0 であり、a^n+b^n＝1 だから、n≧3 から (a/c)^n＋(b/c)^n＝1/c^n を得る。
a、b、c、及びCの各定義から、平面 R^2 上において点 A(a/c,b/c) は円周C上に存在して、(a/c)^2＋(b/c)^2＝1。
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