[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む81 (1002ﾚｽ)
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27(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2020/01/18(土) 13:18:07.60 ID:jvo9z/Ks(24/40) AAS
>>26
>>26
おっちゃん、どうも、スレ主です。
１．x^x＝2 の対数(底は2)を取ると
x log2 (x) = 1
変形して X=0で
log2 (x) = 1/x
つまり、2つのグラフ log2 (x) と 1/x との交点が、解
２．さて
log2 (x) ＝log x/log 2 と変形できる（底を2からeに変換（自然対数へ））
３．もし、xが有理数なら、1/xも有理数
そこで、log2 (x) ＝log x/log 2 が有理数か否かが問題となる
これは、下記のゲルフォント、シュナイダーから、xと 2が、乗法的独立ならば
log x/log 2 は超越数になるので、有理数解はない
４．問題は、xと 2が、乗法的独立か否かだが、これは乗法的独立じゃないかな？
きちんと検証できていないが（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
本稿では log を自然対数とする。
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
・乗法的独立[注 1]である、0, 1 ではない代数的数 α , β に対する、log α /log β 。 (ゲルフォント、シュナイダー)
注釈
1^ 整数 k, l に対して、α ^kβ ^l=1 ならば k=l=0 が成り立つとき、α, β は、乗法的独立であるという。
28: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2020/01/18(土) 13:19:11.14 ID:jvo9z/Ks(25/40) AAS
>>27
スマン >>26が2つで、被ったな（＾＾；
37(3): １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/18(土) 14:13:23.70 ID:LY3dX+ef(2/13) AAS
>>27
ゲルフォント・シュナイダーの定理と、任意の正の超越数xに対して、x^x は超越数であることから、
任意の正の無理数aに対して a^a は超越数だから、
38(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/18(土) 14:22:43.36 ID:LY3dX+ef(3/13) AAS
>>27
(>>37の続き)
正の変数xの実関数 x^x x＞0 が区間 [1,+∞] で単調増加なことから、
任意の1以上の有理数aに対して、 或る有理数xが存在して、x^x＝a となる。
>>37ではレスしてしまった。
39: １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/18(土) 14:25:37.52 ID:LY3dX+ef(4/13) AAS
>>27
>>38の訂正：区間 [1,+∞] → 区間 [1,+∞)
46(3): １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/18(土) 14:44:07.85 ID:LY3dX+ef(5/13) AAS
>>27
>>37の
>任意の正の超越数xに対して、x^x は超越数であること
は、或る正の超越数xに対して、x^x が正の代数的数とすると、
xが無理数であることと、
>[命題]：任意の正の超越数xと、任意の 正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x (y) は無理数である。
> （注：ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である）
とから、x＝log_x(x^x) は有理数とはならないから、
背理法から、任意の正の超越数xに対して、x^x は超越数といえる。
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