現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む81

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923: １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/30(木) 10:03:13.43 ID:FGHjh5kd

>>915
(>>922の修正後の続き)
平面 R^2 上で点 A(a/c,b/c) と原点 O(0,0) とを結ぶ線分と、x軸正方向とのなす角をθとする。
a、cの各定義から 0＜a/c＜1。同様にb、cの各定義から 0＜b/c＜1。よって、0＜θ＜π/2 である。
平面 R^2 上で点 A(a/c,b/c) は円周C上に存在するから cos(θ)、sin(θ) は、それぞれ、cos(θ)＝a/c、sin(θ)＝b/c と表される。
よって、cos^2(θ)＋sin^2(θ)＝1。同様に (a/c)^n＋(b/c)^n＝1/c^n だから、cos(θ)^n＋sin^n(θ)＝1/c^n。
仮定から、n≧3 だから、0＜cos(θ)＜1 と 0＜sin(θ)＜1 が両方共に成り立つことに注意すると、
cos(θ)^n＋sin^n(θ)＜cos^2(θ)＋sin^2(θ)、よって 1/c^n＜1 から c^n＞1 であり、
(c-1)(c^{n-1}+c^{n-2}+…+c+1)＞0 となる。c＞0 だから、c-1＞0 から、c^2＞1。
よってcの定義から、a^2+b^2＞1 となる。故にa、bの各定義から、平面 R^2 上の有理点 (a,b) は円周C上には存在しない。
故に、0＜a＜1、0＜b＜1、及び C' の定義から、平面 R^2 上の有理点 (a,b) は半径1の円 C' の内部に存在する。
しかし、a、bは a^2+b^2＞1 を満たすから、C' の定義から、平面 R^2 上の有理点 (a,b) は円 C' の内部には存在しない。
よって、有理点 (a,b) が円 C' の内部に存在するか否かについて、矛盾が生じたことになる。
この矛盾は、或る3以上の整数nが存在して、何れも或る3つの正整数 x、y、z が存在して、
x^n+y^n＝z^n と仮定したことから生じたから、背理法が適用出来る。
そこで、背理法を適用すれば、どんな3以上の整数nに対しても、x^n+y^n＝z^n を満たす3つの正整数 x、y、z は存在しない。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579314726/923

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