[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む80 (1002ﾚｽ)
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24(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2020/01/04(土) 23:48:07.13 ID:MNiodNk0(21/21) AAS
>>23
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
(抜粋)
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
総和の記号 ?
を使えば、同じ多項式は
p=p_mX^m+p_m-1X^m-1+・・・ +p_1X+p_0=Σk=0〜m p_kX^k
と簡潔な形に書くことができる。この総和の範囲はよく省略されて、 p=Σk p_kX^k のように書くこともある。
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。
体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。
過去スレ20 時枝再録 2chｽﾚ:math
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
(引用終り)
以上
27(2): １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/05(日) 08:37:19.51 ID:CpJpHnug(1/11) AAS
>>21-25
長々と解説してるけど…その解説は肝心の
「尻尾の同値類全体に共通する尻尾がある」
の証明にはならないね
証明できるわけない だってウソだからｗ
2chｽﾚ:math
同値類から取り出した有限個の列からは共通の尻尾がとれるが
無限個の列からは共通の尻尾が取り出せない場合がある！
29(6): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2020/01/05(日) 09:20:34.97 ID:dWKXmW0r(3/27) AAS
>>27
いいんじゃね？
>>21-25で言いたいことは
１．時枝の可算無限数列 は、それを係数とする形式的冪級数として捉えることができる
２．シッポの同値類で、同じ同値類に属する形式的冪級数FpとFp'の差を取って、
多項式 p'=Fp-Fp' で、p'∈R[X] （多項式環）で、n0-1次多項式 ができる
３．Fpを同値類の代表とする
時枝のいう決定番号dは、d=n0です
（参考）
スレ20 2chｽﾚ:math
3 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/06/19(日) 04:51:43.66 ID:suG/dCz5 [3/23]
(抜粋)
各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
(引用終り)
４．このように考えると
決定番号dの大小比較は、2つの形式的冪級数（代表の級数と問題の級数と）の差の対抗式pの次数n0に直して考えることができ
非常に考え役成るのです
５．私は、一つの同値類には、固有のシッポが存在すると考えています。同値類内の形式的冪級数たちは、その固有のシッポを共有する
証明はしません。時枝では得に使いませんから。証明など、横道にそれるだけ
でも、一般に同値類には、そういう”不変量”みたいなのが、あることが多いことだけを指摘しておきます（下記）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
(抜粋)
不変量
〜 が X 上の同値関係で P(x) が，x 〜 y であるときにはいつでも，P(y) が真ならば P(x) が真であるような，X の元の性質であるとき，性質 P は 〜 の不変量，あるいは関係 〜 のもとで well-defined であるといわれる．
125(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/06(月) 15:40:46.40 ID:7fY12LRH(4/5) AAS
>>60
(引用開始)
どういう場合に取り出せないか、は以下に示してます
要するに
0
0.1
0.11
0.111
…
の無限個の要素からは共通の尻尾はとれない
(引用終り)
共通のシッポ取れるよ
それ、>>24の多項式環と考えれば良いんだよ
つまり、「多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である」
だから、それ、シッポ全て可算無限長の空の箱（＝係数0）と考えてもよいってことよ
（例えば、0.111 空(0）空(0）空(0）・・・ という感じですよｗ（＾＾； ）
まあ、あなた 多項式環も理解できていないし
形式的冪級数環も理解できていないね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
(抜粋)
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。
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