[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む67 (1002ﾚｽ)
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590(2): １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/10(月) 17:16:30.61 ID:DIVqOZRg(1/2) AAS
おっちゃんです。
>>585
スレ主がかなり前に書かれたページ数がかなり少ないマジメな連分数の洋書を読んだかどうかは怪しいが、
その洋書には、代数的無理数や超越数などの各定義、及びリウビルの超越数程度は書かれている。
そのテキストによれば、やはりオイラーの定数γの有理性は連分数で終わっている。
γは代数的無理数でもリウビルの超越数でもないことはいえてしまう。
γの有理性の証明を誤解を招かずに分かり易く証明を書くために必要になるような、
ロスの定理や無理数度などといった、そういう現代的な超越数や無理数の理論についての概念は比較的後付けの話だ。
任意の超越数rは無理数だから、rにについて可算無限個の既約有理数 q./p (p,q)＝1 p≧2 が存在して、| r−q/p |＜1/p^2 となる
ことは、上のかなり前に書かれたページ数がかなり少ないマジメな連分数のテキストの基本的な結果でもある。
その条件 | r−q/p |＜1/p^2 を満たすような可算無限個の既約有理数 q./p (p,q)＝1 p≧2 の全体集合と、
超越数rの第n次近似分数 (q_n)/(p_n) n∈N＼{0} の全体集合との間には全単射が存在することに注意して、
rの第n次近似分数 (q_n)/(p_n) n∈N＼{0} を任意に取ると、或る正整数nが一意に対応して、| r−(q_n)/(p_n) |＜1/(p_n)^2 となる。
従って、或る | r−q/p |＜1/p^2 なるような可算無限個の既約有理数 q./p (p,q)＝1 p≧2 と
或る正整数nが存在してnに対して一意に対応して定まるrの第n次近似分数 (q_n)/(p_n) とは等しくなって、| r−(q_n)/(p_n) |＜1/(p_n)^2 となる。
ここに、57/100＜q/p ＜3/5 (p,q)＝1 p≧2、57/100＜(q_n)/(p_n) ＜3/5 (p_n, q_n)＝1 p_n≧2。
595(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/06/10(月) 21:01:21.65 ID:NUzKSRzn(6/9) AAS
>>590
黒木玄さん（＾＾
https://github.com/genkuroki/Calculus
genkuroki/Calculus
微分積分学
https://genkuroki.github.io/documents/Calculus/
微分積分学のノート 微分積分学
黒木玄
GitHub repository
PDF
1.収束
2.級数
3.π と e とEuler定数 γ
https://genkuroki.github.io/documents/Calculus/03%20pi%2C%20e%2C%20and%20Euler's%20%CE%B3.pdf
4 Euler定数
4.1 Euler定数の定義
4.2 条件収束交代級数への応用
4.3 Euler定数がガンマ函数の無限積表示に出て来ること
4.4 Euler定数が高次元単体上の一様分布に関連して自然に出て来ること
4.5 ζ(s) - 1/(s-1) の s→0 での極限がEuler定数に等しいこと
4.連続函数
5.微分可能函数
6.Taylorの定理
7.漸近展開の有名な例
8.函数の凸性と不等式への応用
9.積分
10.Gauss積分, ガンマ函数, ベータ函数
11.Kullback-Leibler情報量
12Fourier解析
13.Euler-Maclaurinの和公式
付録
・ディリクレ級数の滑らかなカットオフ
・Hurwitzのゼータ函数の話
https://genkuroki.github.io/documents/Calculus/Calculus.pdf
微分積分学のノート すべてをまとめたPDF 黒木玄
596(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/06/10(月) 21:30:01.09 ID:NUzKSRzn(7/9) AAS
>>590
明治数学科 2005年度卒研で、オイラー定数の連分数を扱っているね（＾＾
重箱の隅をつついて悪いが、この卒研の目次に不備があるね
「?E．オイラー定数 Ｐ69 」抜けやね（＾＾
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/report/
桂田研卒業レポート 理工学部数学科 明治大
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/report/open/2005-itou-kawakami.pdf
2005年度 伊東さや香・川上勉 『連分数』 (PDF)
Ｐ69
?E．オイラー定数
(抜粋)
このグラフより，オイラー定数の 11 次の近似分数での収束の速さは，部分商に規則性がないため，直線
的にならず，収束の速さも他のグラフと比べると，速い・遅いは判断できない．
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