[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む67 (1002ﾚｽ)
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256(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/06/08(土) 16:38:34.12 ID:e2T0R87W(17/46) AAS
>>193追加
＜時枝の箱の列→形式的べき級数について＞
１）
（過去スレ19にも書いたことだが）
時枝の箱の列→形式的べき級数 と考えることができる
可算無限個の箱→形式的冪級数の係数 各 ai (i = 0, 1, 2, …) (下記)
とできる
２）
同値類は、例えば
exp(x)=e^x=1+x/(1!)+x^2/(2!)+・・・+x^n/(n!)+・・・という形式的べき級数を考えると
e^xに任意のn次多項式
f(x)=a0+a1x+a2x^2+・・・+anx^n を加える
e^x+f(x)＝(1+a0)+(a2+1/(1!)x+(a2+1/(2!))x^2+・・・+(an+1/(n!))x^n+・・・
なので、e^xとe^x+f(x)は、”ある番号から先のしっぽが一致する”
３）
一方、”ある番号から先のしっぽが一致する”同値類の任意の二つの元、
g(x)とf(x)を取ると、
差g(x)-f(x)は多項式
（∵”ある番号から先のしっぽが一致する”から、しっぽの部分が消えるので。）
４）
よって例えば、e^xによる問題の同値類は、{e^x}＋K[x]と表すことができる。
（ここに、K[x]は下記の多項式環から借用した）
５）
よって、”ある番号から先のしっぽが一致する”同値類の分類は、
実数R に係数を持つ形式的冪級数全体からなる集合 R[[X]] の多項式環R[x]による商集合と見ることができる
（ここでK[x]→R[x]と書き換えた）
６）
同値類の代表は、例えば、e^xで、多項式環R[x]から一つの多項式p(x)を選び、e^x＋p(x)とすることと同値である
７）
決定番号dとは、問題の数列がe^x+p'(x)に相当するとして、
多項式p'(x)の次数をm’、
多項式p(x)の次数をmとして
一般に
d＝1+max(m,m')
となる
ここで、m≠m'と仮定している
（二つの多項式の次数が一致する確率は０として無視する）
つまり、1+max(m,m')より次数の大きな項は、e^xの項そのものなので、二つは一致する
つづく
257(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/06/08(土) 16:40:40.86 ID:e2T0R87W(18/46) AAS
>>256
つづき
８）
以準備で、時枝の可算無限個の箱→形式的冪級数の係数の対応ができた
（含 同値類及び代表と決定番号）
ここで、もし>>192の”抽象化された時枝解法”が成立つとすると
ある有限の数Dがあって
形式的冪級数
F(x)Σ(n=0〜∞) anX^n = a0+a1x+a2x^2+・・・+anx^n +・・・
において
D+1より次数の高い係数たちの情報から
D次の係数 aDが、確率1-εで決められてしまうことになる
これは明らかに矛盾である
よって、形式的冪級数の中に抽象化された時枝解法の反例が構成できた
QED
（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
(抜粋)
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
Σ(n=0〜∞) anX^n = a0+a1x+a2x^2+・・・+anx^n +・・・
の形をしたものである。ある m が存在して n >= m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
(抜粋)
体上の一変数多項式環 K[X]
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと ?つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ? は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。
体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。
(引用終り)
以上
329(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/06/08(土) 20:56:44.93 ID:e2T0R87W(39/46) AAS
>>293 補足
> ５）ここで、1000→ｎ→∞と大きくします（Ω＝∞の世界です）
> 相手が、どんな有限値ｍを引いでも、自分がｍより大きい数を引く確率１
>（Ω＝∞の世界では、後出しジャンケンのように確率１になります）
これを時枝で見ると
１）（>>192-193より）
有限の数Dを得て、
(D+1) 番目から先の箱だけを開ける
そして、問題の数列の属する同値類の代表を見る
２）そのとき、二つの場合がおきる
ａ）すでに開けた箱の部分が全て代表と一致して、Ｄ番目の的中が期待できる
この場合、決定番号ｄ<=Dです
これ、代表として当たりくじを引いた場合になります
b）すでに開けた箱の部分で既に代表と不一致が生じていて、Ｄ番目の的中が期待できない
この場合、決定番号ｄ＞Dです
これ、代表として外れくじを引いた場合です
３）つまり、代表の選び方の巧拙で、当り外れがあります
４）問題は、一つの同値類中のどの元でも代表となる資格があり、当たりくじは少なく外れが多いのです
そして、当たりを引ける確率は０です
∵（>>256より） 多項式環R[x]から一つの多項式p(x)を代表として選ぶとすれば、それはｍ次多項式よりｍ＋1次多項式が圧倒的に多く、ｍ＋2次多項式が圧倒的に多く・・・となるからです
（お分かりと思いますが、>>256 7) d＝1+max(m,m')の式より、d>=mですから、決定番号dは上記（>>293）の∞のカードゲームと同じように、どんな有限値に対しても、それより大きな値になる確率1になります。よって、当たりくじの確率0です）
以上
349(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/06/08(土) 23:20:35.17 ID:e2T0R87W(45/46) AAS
>>341 補足
＞・ある有限の数Dを何らかの方法で決める（ここを抽象化している（＾＾ ）
抽象化して、「何らかの方法で」としたので
当然時枝の方法も含むし
選択公理を、使ってもいい（使わなくてもいい）（>>277）
要するに、可算無限長数列のしっぽの先の情報をつかい
しっぽのＤ＋１からしっぽの先の数値を使って
Ｄ番目の数aDを、確率1-εで的中できる
それは、形式的冪級数論に当てはめれば
反例が構成できると（>>256-257をご参照）
520(13): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/06/09(日) 20:00:14.30 ID:nOfbA8rJ(23/28) AAS
>>192より、再度時枝記事の解法を抽象化した版を、引用しておきます
＜時枝記事の解法抽象化版＞
１）可算無限数列ｓ
（s = (s1，s2，s3 ，・・・) で、数s1たちが箱に入っているとする
（数学的には余計だが、時枝とのつなぎのために））
２）ある番号から先のしっぽが一致する同値類を考える
３）ある有限の数Dを何らかの方法で決める（ここを抽象化している（＾＾ ）
４）(D+1) 番目から先の箱だけを開ける（数学的には、「情報を得る」ないし単に「知る」としても意味同じ）
５）同値類の代表の数列のD番目の数と、問題の数列のD番目の数が一致する確率1-ε （ここに、εはいくらでも小さくできる）
となる
有限の数Dを決める方法は、時枝記事の通りでもいいし、別の方法でもいい。
選択公理を使っても使わなくてもいい。
但し、数学的に正当化できる手段でなくてはならない（例：こっそり箱を覗くなどはダメです）
（反例の存在）
もし、上記の＜時枝記事の解法抽象化版＞（ここに時枝記事も含まれる）が正しいとすると
これに対する反例は、一般数学の中にいくらでも存在する（可算無限数列が取れさえすれば良いのだから（＾＾ ）
例えば、関数値の数列の数当て（>>193&>>197）
また、形式的冪級数の係数の数当て（>>256-257）
なお、時枝記事の原文は下記
（参考）
時枝記事アスキー版 スレ47 2chｽﾚ:math
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