現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む67

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779: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/12(水) 14:22:50.85 ID:cWAQY72D

>>775
＞無限集合の存在性に限らずあなたは一回も証明を出してません。

こらこら、数学に関する記述は、正確に頼むよ（＾＾
「無限集合の存在」の証明はできませんよ
デデキント先生がそれで失敗したのは有名な話です（下記ご参照）

なので、「無限集合の存在」は公理です
ですので、どの公理を採用するかで、立場が異なる

そういうことです
数学に関する記述は、正確に頼むよ（＾＾

（参考）
http://abrahamcow.hatenablog.com/entry/2014/10/03/111455
デデキントによる無限集合の存在証明のあやまり 廿TT 2014-10-03
(抜粋)
概略
　小島寛之の『数学でつまずくのはなぜか』はおもしろい本だけど、ラストには（おそらく意図的な）ごまかしがある。

小島はデデキントの無限集合の存在証明は「その後の数学者たちには黙殺されてしまった」と述べているが、そんなことはない。ふつうに反論されている。

デデキントは著書『数について』において「無限」を下記のように定義している。

集合 S は、もしそれ自身の真部分集合に相似ならば、「無限」であるといい、そうでない場合には S を「有限」集合であるという。
（pp.80-81）

「相似」な集合という言葉は耳慣れないので、説明を加えよう。

無限の世界ではこういったパラドキシカルなことが起こる。

本当はこの例えは逆で、デデキントは自分自身の真部分集合にこの「一対一対応を作れる」ことが無限集合の定義であるとして、ここから自然数とはなにか、導こうとした。

デデキントによる無限集合の存在証明
　さて問題になるのは、このような無限集合 S というのが存在するのか、ということである。

そこでデデキントはおもしろいことを述べる。

私の思考の世界、すなわち私の思考の対象となり得るあらゆる事物の全体 S は無限である。
（p.81）

ふつうに反駁されている。

「私の思考の対象となり得るあらゆる事物の全体 S」という集合は、あらゆる集合の集まりを含む。

あらゆる集合の集まりは、「クラス」と呼ばれ、これは集合とは考えない。

なので、デデキントの議論は今日では証明として認められない。
(引用終わり)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/779

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