現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む67

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692: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/06/11(火) 21:25:58.30 ID:qGy+Mtwk

>>690
>可算無限は、もはや何も追加できない自然数全体の集合ω
>そしてωと一対一対応する集合を指す

こらこら、正確に頼むよ（＾＾
文系High level peopleは、そこでハマッテいるのか
だから、時枝が分らないんだろ

自然数全体の集合は、普通Ｎだけど、まあωでもいいけど
ωと一対一対応する集合なら、偶数全体の集合もそうじゃんか
自然数全体の集合ωに負数を”追加”して、整数環Ｚ＝ω∪-ω でしょ

で
濃度：集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度といい
ですよ。”最小のものを A の濃度（cardinality of A）”ですよ（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0#cite_ref-1
数学でいう順序数とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数を拡張させた概念である

順序数の大小関係
0 が最小の順序数である
その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である
ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていく

集合の濃度と基数
集合 A から集合 B への全単射が存在するとき、A と B は同数（equinumerous）であるといい、A ＝～ B で表す
選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える
そこで、集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度（cardinality of A）といい、これを |A| あるいは card(A) で表す
ある集合 A に対して α = |A| である順序数 α を基数（cardinal number）と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ：
|A| = |B| 　⇔　 A ＝～ B
A が有限集合のとき、|A| は A の要素の個数に等しい
基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/692

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