[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む67 (1002ﾚｽ)
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75(2): １３２人目の素数さん [] 2019/06/07(金) 19:57:05.65 ID:sb86lnBh(1/8) AAS
>>54
コピペすればいいのに
76(7): １３２人目の素数さん [] 2019/06/07(金) 19:58:28.27 ID:sb86lnBh(2/8) AAS
箱がたくさん，可算無限個ある.
箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，
例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，
すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.
そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.
片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，
一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ.
もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち.
さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?
77(6): １３２人目の素数さん [] 2019/06/07(金) 20:00:44.77 ID:sb86lnBh(3/8) AAS
私たちのやろうとすることは
Qのコーシー列の集合を同値関係で類別して
Rを構成するやりかたに似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
は，ある番号から先のしっぽが一致する
∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n
とき同値s 〜 s'と定義しよう
(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，
sとs'が1962番目から先一致し，
s'とs"が2015番目から先一致するなら，
sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な
(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，
あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で
既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd が決められることに注意しよう.
78(5): １３２人目の素数さん [] 2019/06/07(金) 20:02:55.06 ID:sb86lnBh(4/8) AAS
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが，
とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち…第100 列の箱たちは
100本の実数列s^1,s^2，・・・，s^100を成す
(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり，
s^1〜s^(k-l),s^(k+l)〜s^100の決定番号のうちの
最大値Dを書き下す.
いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：
s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・.
いま D >= d(s^k) を仮定しよう.
この仮定が正しい確率は99/100，
そして仮定が正しいばあい，
上の注意によってs^k(d)が決められるのであった.
おさらいすると，仮定のもと，
s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て
代表r＝r(s^k) が取り出せるので
列r のD番目の実数r(D)を見て，
第k列のD番目の箱に入った実数はs^k(D)＝rD
と賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
79(4): １３２人目の素数さん [] 2019/06/07(金) 20:04:20.81 ID:sb86lnBh(5/8) AAS
R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例
(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)
にそっくりである.
逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，
この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき，
と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，
測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，
そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである
(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).
80(4): １３２人目の素数さん [] 2019/06/07(金) 20:05:59.32 ID:sb86lnBh(6/8) AAS
もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，
(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，
ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・が
まるまる無限族として独立なら，当てられっこないではないか
−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，
無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる，
といってもよい.
81(4): １３２人目の素数さん [] 2019/06/07(金) 20:05:59.51 ID:sb86lnBh(7/8) AAS
もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，
(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，
ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・が
まるまる無限族として独立なら，当てられっこないではないか
−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，
無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる，
といってもよい.
85(1): １３２人目の素数さん [] 2019/06/07(金) 20:38:53.33 ID:sb86lnBh(8/8) AAS
>>83
この位手で打てよ
６０過ぎの人生ロスタイムの爺か？
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