[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む67 (1002ﾚｽ)
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590(2): １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/10(月) 17:16:30.61 ID:DIVqOZRg(1/2) AAS
おっちゃんです。
>>585
スレ主がかなり前に書かれたページ数がかなり少ないマジメな連分数の洋書を読んだかどうかは怪しいが、
その洋書には、代数的無理数や超越数などの各定義、及びリウビルの超越数程度は書かれている。
そのテキストによれば、やはりオイラーの定数γの有理性は連分数で終わっている。
γは代数的無理数でもリウビルの超越数でもないことはいえてしまう。
γの有理性の証明を誤解を招かずに分かり易く証明を書くために必要になるような、
ロスの定理や無理数度などといった、そういう現代的な超越数や無理数の理論についての概念は比較的後付けの話だ。
任意の超越数rは無理数だから、rにについて可算無限個の既約有理数 q./p (p,q)＝1 p≧2 が存在して、| r−q/p |＜1/p^2 となる
ことは、上のかなり前に書かれたページ数がかなり少ないマジメな連分数のテキストの基本的な結果でもある。
その条件 | r−q/p |＜1/p^2 を満たすような可算無限個の既約有理数 q./p (p,q)＝1 p≧2 の全体集合と、
超越数rの第n次近似分数 (q_n)/(p_n) n∈N＼{0} の全体集合との間には全単射が存在することに注意して、
rの第n次近似分数 (q_n)/(p_n) n∈N＼{0} を任意に取ると、或る正整数nが一意に対応して、| r−(q_n)/(p_n) |＜1/(p_n)^2 となる。
従って、或る | r−q/p |＜1/p^2 なるような可算無限個の既約有理数 q./p (p,q)＝1 p≧2 と
或る正整数nが存在してnに対して一意に対応して定まるrの第n次近似分数 (q_n)/(p_n) とは等しくなって、| r−(q_n)/(p_n) |＜1/(p_n)^2 となる。
ここに、57/100＜q/p ＜3/5 (p,q)＝1 p≧2、57/100＜(q_n)/(p_n) ＜3/5 (p_n, q_n)＝1 p_n≧2。
591: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/10(月) 17:45:05.81 ID:DIVqOZRg(2/2) AAS
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
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