現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む67

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256: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/06/08(土) 16:38:34.12 ID:e2T0R87W

>>193追加
＜時枝の箱の列→形式的べき級数について＞
１）
（過去スレ19にも書いたことだが）
時枝の箱の列→形式的べき級数 と考えることができる
可算無限個の箱→形式的冪級数の係数 各 ai (i = 0, 1, 2, …) (下記)
とできる
２）
同値類は、例えば
exp(x)=e^x=1+x/(1!)+x^2/(2!)+・・・+x^n/(n!)+・・・という形式的べき級数を考えると
e^xに任意のn次多項式
f(x)=a0+a1x+a2x^2+・・・+anx^n を加える
e^x+f(x)＝(1+a0)+(a2+1/(1!)x+(a2+1/(2!))x^2+・・・+(an+1/(n!))x^n+・・・
なので、e^xとe^x+f(x)は、”ある番号から先のしっぽが一致する”
３）
一方、”ある番号から先のしっぽが一致する”同値類の任意の二つの元、
g(x)とf(x)を取ると、
差g(x)-f(x)は多項式
（∵”ある番号から先のしっぽが一致する”から、しっぽの部分が消えるので。）
４）
よって例えば、e^xによる問題の同値類は、{e^x}＋K[x]と表すことができる。
（ここに、K[x]は下記の多項式環から借用した）
５）
よって、”ある番号から先のしっぽが一致する”同値類の分類は、
実数R に係数を持つ形式的冪級数全体からなる集合 R[[X]] の多項式環R[x]による商集合と見ることができる
（ここでK[x]→R[x]と書き換えた）
６）
同値類の代表は、例えば、e^xで、多項式環R[x]から一つの多項式p(x)を選び、e^x＋p(x)とすることと同値である
７）
決定番号dとは、問題の数列がe^x+p'(x)に相当するとして、
多項式p'(x)の次数をm’、
多項式p(x)の次数をmとして
一般に
d＝1+max(m,m')
となる
ここで、m≠m'と仮定している
（二つの多項式の次数が一致する確率は０として無視する）
つまり、1+max(m,m')より次数の大きな項は、e^xの項そのものなので、二つは一致する

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/256

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