[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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529(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 08:17:49.36 ID:qyW7buAe(5/40) AAS
>>520 補足
いま読み返すと、前スレで ID:I3RTouchさんが書いてくれていた一部を
私が>>520以下で具体的に示したわけか
ようやく意図がわかったよ、ありがとう（＾＾
(引用開始)
前スレ59 2chｽﾚ:math
381 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/01/28(月) 01:03:38.54 ID:I3RTouch [1/4]
>>168で「特化した証明」と書きましたが、まったく任意の実数xも含めて考えてみたので書きますね。
当初考えていた証明→ sin のn倍角公式を使うもの
でしたが、オイラーの公式を使った方が簡単。
オイラーの公式: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).
そして、x:π/n の整数倍 とは限らず、x:任意の実数 でもある程度の分析は可能→命題参照
Qを有理数体、Rを実数体とする。
xをπの整数倍ではない任意の実数とする。K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。
以上のことから次の命題が成立することが分かる。
命題 sin(x)∈K ⇔ i∈L.
最も簡単なケース（円分体）
e^(ix)の整数乗でi に等しいものがあるとき ⇔ Lが1のn乗根（nは4の倍数）の体のとき
i∈L だとしても、それが「e^(ix)の整数乗」という形で含まれるとは限らないので
sin(x)\not∈K の証明はより難しい。
sinとcos を入れ替えた場合→ x+π/2 として分析できる。
（以上、オイラーの公式と初歩的な代数しか使ってない。）
(引用終り)
560(2): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/11(月) 10:05:22.35 ID:61ruhzCC(1/16) AAS
>>533
>あと残っているのは
>”Q(sinπ/p) ＝ Q(ζ4p)∩ R ”が成り立つはずなのだが・・、
>>529
>K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
>L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。
>sinとcos を入れ替えた場合→ x+π/2 として分析できる。
とあるでしょ。
上の関係でπ/2シフトするとcos(x)は-sin(x)になる
一方、nが奇数のとき1の原始2n乗根はπ/2シフトである原始4n乗根になることと
体としては、どの原始N乗根をとっても同じ体（ガロア拡大）であることに注意すればいい。
別に円分体の込み入った議論は一切必要ない。
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