[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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522(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/10(日) 23:59:50.72 ID:6AF3LOKJ(13/13) AAS
>>521

つづき

これより
ζp^{(p+1)/2} + 1/ζp^{(p+1)/2} = -2cosπ/p
つまり、
cosπ/p ∈Q(ζ2p) (＝(ζp)）

なお
ζp^{(p+1)/2} - 1/ζp^{(p+1)/2} = -2i sinπ/p
だから
i ∈Q(ζ4p) が使えて（割るか掛けるかする）
（cosπ/p,sinπ/p) ⊂ Q(ζ2p)∩R(実円分体）
です

で、上記より実円分体で、
（ζp ＋1/ζp,・・・,ζp^{(p-1)/2} ＋1/ζp^{(p-1)/2} ）⊂ Q(ζp)∩ R
＝ Q(ζ2p)∩ R
＝ Q(cosπ/p)⊂Q(sinπ/p)⊂ Q(ζ4p)∩ R
＝Q(i,ζp)∩ R
が成り立つ

元の円分体で示すと
Q(ζp)＝ Q(ζ2p)⊂ Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)
です

言葉で述べると
・Q(ζp)は、Q内に-1=e^πiを含んでいるので、Q(ζ2p)（2p等分点による）と等しい
・Q(ζ4p)（4p等分点による）は、iを含む
・Q(i,ζp)で、iとζpによる拡大体になる

つづく

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523(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 00:00:44.35 ID:qyW7buAe(1/40) AAS
>>522

つづき

で、これを因数分解で見ると
x^4p - 1
＝(x^2p - 1)(x^2p + 1)
＝(x^p - 1)(x^p + 1)(x^2p + 1)
＝0

x^p ＝ 1 から、ζpがでる
x^p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ2pがでるが、Q(ζp)＝ Q(ζ2p)
x^2p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ4pがでる

体の拡大の次数は
|Q(ζp)：Q|＝p-1
|Q(ζ2p)：Q|＝p-1
|Q(ζ4p)：Q|＝2(p-1)

|Q(ζp)∩ R：Q|＝|Q(ζ2p)∩ R：Q|＝(p-1)/2
|Q(ζ4p)∩ R：Q|＝p-1

>>114の
問1：cos(π/n)∈Q(sin(π/n))　の証明は、
>>158-159の通りで、
「nが奇数ならn-1=2mと表せてcosの2m倍角公式がsinだけで書ける」（spread 多項式 Smを使う）ことから従う
問2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)の略証は、>>178に書いた通り

あと残っているのは
”Q(sinπ/p) ＝ Q(ζ4p)∩ R ”が成り立つはずなのだが・・、
まだ示せていない（＾＾；

追伸
なお、ここらの式変形やテクニックは、円分体やガロア理論では頻出だったよね、確か（＾＾；
まあ、ガウスなら秒殺で浮かぶだろうことが、鈍才のスレ主は、思いだしながら１週間くらいかかったよ（＾＾

つづく

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525: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 00:06:16.49 ID:qyW7buAe(3/40) AAS
>>522 タイポ訂正

（cosπ/p,sinπ/p) ⊂ Q(ζ2p)∩R(実円分体）
　↓
（cosπ/p,sinπ/p) ⊂ Q(ζ4p)∩R(実円分体）

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