[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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521(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/10(日) 23:58:27.47 ID:6AF3LOKJ(12/13) AAS
>>520

つづき

蛇足で、繰り返しすが
ζ4=iは、x^4=1の根です
重要なのはζ4=i（虚数単位）が得られること
なお、ζ2は、x^2=1の根で、ζ2=-1ですが、これは有理数Qの中です
（体の拡大に寄与しない）

下記wikipedia 円分体の記述のように、
Q(ζ4p) は、Q(ζ4)と Q(ζp)との合成体とみることができます
つまり、 拡大体 Q(i,ζp)と見ることが出来ます

ζpは、x^p=1の根で、最小多項式は、p-1次多項式です。
（根 x=1 が除かれますのでp-1です）
1以外の根は、ζp,ζp^2,・・・,ζp^(p-1) のp-1個です
実円分体 Q(ζp)∩R は、共役複素数の和 ζp ＋1/ζp = 2cos(2π/p)達です
で
ζp ＋1/ζp,・・・,ζp^{(p-1)/2} ＋1/ζp^{(p-1)/2} で、(p-1)/2個
なお、念のため
ζp＝cos2π/p + i sin2π/p です

ここで、
ζp^{(p+1)/2}
=cosπ(p+1)/p + i sinπ(p+1)/p
=cosπ(1+1/p) + i sinπ(1+1/p)
=-cosπ/p - i sinπ/p
=-ζ2p
とできます

つづく

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522(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/10(日) 23:59:50.72 ID:6AF3LOKJ(13/13) AAS
>>521

つづき

これより
ζp^{(p+1)/2} + 1/ζp^{(p+1)/2} = -2cosπ/p
つまり、
cosπ/p ∈Q(ζ2p) (＝(ζp)）

なお
ζp^{(p+1)/2} - 1/ζp^{(p+1)/2} = -2i sinπ/p
だから
i ∈Q(ζ4p) が使えて（割るか掛けるかする）
（cosπ/p,sinπ/p) ⊂ Q(ζ2p)∩R(実円分体）
です

で、上記より実円分体で、
（ζp ＋1/ζp,・・・,ζp^{(p-1)/2} ＋1/ζp^{(p-1)/2} ）⊂ Q(ζp)∩ R
＝ Q(ζ2p)∩ R
＝ Q(cosπ/p)⊂Q(sinπ/p)⊂ Q(ζ4p)∩ R
＝Q(i,ζp)∩ R
が成り立つ

元の円分体で示すと
Q(ζp)＝ Q(ζ2p)⊂ Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)
です

言葉で述べると
・Q(ζp)は、Q内に-1=e^πiを含んでいるので、Q(ζ2p)（2p等分点による）と等しい
・Q(ζ4p)（4p等分点による）は、iを含む
・Q(i,ζp)で、iとζpによる拡大体になる

つづく

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