[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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520(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/10(日) 23:57:54.10 ID:6AF3LOKJ(11/13) AAS
>>160 関連
（問題は >>114 ご参照）
円分体の一般論は、私にはとても手に負えないが
問題に必要な最小限の p,2p,4p の場合のみ考えてみたので、ご参考までに書く
＜数学の内容は、ほぼ高校数学の延長線上だが、円分体やガロアでは頻出だったと思う＞
数学雑記さんより
http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
2017-08-05 体論の期末試験(再現)
が、解答の中でやっていることの補足です
（円分体の掘り下げ）
ζ4pを作ります
ζ4p
＝cos2π/4p + i sin2π/4p
＝cosπ/p + i sinπ/p
これは
x^4p - 1＝0の根です
拡大体 Q（4p）内で、
ζ4pのベキを考えることができます
p乗で
（ζ4p)^p
＝cos2π/4 + i sin2π/4
＝cosπ/2 + i sinπ/2
＝ i
となり、iが得られます。なお、iは虚数単位です。
つまりi=e^(π/2)=ζ4 ∈Q(ζ4p)です
（後述の永野哲也研 長崎県立大 １の8乗根の図解ご参照 ）
つづく
521(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/10(日) 23:58:27.47 ID:6AF3LOKJ(12/13) AAS
>>520
つづき
蛇足で、繰り返しすが
ζ4=iは、x^4=1の根です
重要なのはζ4=i（虚数単位）が得られること
なお、ζ2は、x^2=1の根で、ζ2=-1ですが、これは有理数Qの中です
（体の拡大に寄与しない）
下記wikipedia 円分体の記述のように、
Q(ζ4p) は、Q(ζ4)と Q(ζp)との合成体とみることができます
つまり、 拡大体 Q(i,ζp)と見ることが出来ます
ζpは、x^p=1の根で、最小多項式は、p-1次多項式です。
（根 x=1 が除かれますのでp-1です）
1以外の根は、ζp,ζp^2,・・・,ζp^(p-1) のp-1個です
実円分体 Q(ζp)∩R は、共役複素数の和 ζp ＋1/ζp = 2cos(2π/p)達です
で
ζp ＋1/ζp,・・・,ζp^{(p-1)/2} ＋1/ζp^{(p-1)/2} で、(p-1)/2個
なお、念のため
ζp＝cos2π/p + i sin2π/p です
ここで、
ζp^{(p+1)/2}
=cosπ(p+1)/p + i sinπ(p+1)/p
=cosπ(1+1/p) + i sinπ(1+1/p)
=-cosπ/p - i sinπ/p
=-ζ2p
とできます
つづく
529(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 08:17:49.36 ID:qyW7buAe(5/40) AAS
>>520 補足
いま読み返すと、前スレで ID:I3RTouchさんが書いてくれていた一部を
私が>>520以下で具体的に示したわけか
ようやく意図がわかったよ、ありがとう（＾＾
(引用開始)
前スレ59 2chｽﾚ:math
381 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/01/28(月) 01:03:38.54 ID:I3RTouch [1/4]
>>168で「特化した証明」と書きましたが、まったく任意の実数xも含めて考えてみたので書きますね。
当初考えていた証明→ sin のn倍角公式を使うもの
でしたが、オイラーの公式を使った方が簡単。
オイラーの公式: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).
そして、x:π/n の整数倍 とは限らず、x:任意の実数 でもある程度の分析は可能→命題参照
Qを有理数体、Rを実数体とする。
xをπの整数倍ではない任意の実数とする。K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。
以上のことから次の命題が成立することが分かる。
命題 sin(x)∈K ⇔ i∈L.
最も簡単なケース（円分体）
e^(ix)の整数乗でi に等しいものがあるとき ⇔ Lが1のn乗根（nは4の倍数）の体のとき
i∈L だとしても、それが「e^(ix)の整数乗」という形で含まれるとは限らないので
sin(x)\not∈K の証明はより難しい。
sinとcos を入れ替えた場合→ x+π/2 として分析できる。
（以上、オイラーの公式と初歩的な代数しか使ってない。）
(引用終り)
533(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 08:42:25.02 ID:qyW7buAe(7/40) AAS
>>523
>あと残っているのは
>”Q(sinπ/p) ＝ Q(ζ4p)∩ R ”が成り立つはずなのだが・・、
>まだ示せていない（＾＾；
やはり、>>520の数学雑記さんが、解答の中でやっているスジか
下記、1の冪根で、sin π/p をζ4p達の中の原始冪根ξpで表現できると
そのときに、下記「n と互いに素な自然数 m に対して ξnm は 1 の原始 n 乗根であり、逆に 1 の原始 n 乗根はこの形に表せる。」
そのことを、gcdで表現している
ようやく思い出した（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9
1の冪根
(抜粋)
1の冪根、または1の累乗根は、数学において、冪乗して 1 になる（冪単である）ような数のことである。すなわち、ある自然数 n が存在して
z^n = 1
となる z のことである。通常は複素数の範囲で考えるが、場合によっては p 進数のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。
自然数 n に対し、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n 乗して初めて 1 になるような 1 の冪根は n 乗根として原始的 (primitive) であるという。自然数 n を固定せず、1 の原始 n 冪根あるいは 1 の原始 n 乗根として得られる数を総称し、1の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。
1の原始冪根
複素数の範囲では、1 の原始 n 乗根は n ? 3 のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、1 の原始 n 乗根の一つは
ζ n=cos 2π/n + i sin 2π/n
で与えられることが分かる。この時、ζn の共役複素数 ζn も 1 の原始 n 乗根である。n と互いに素な自然数 m に対して ξnm は 1 の原始 n 乗根であり、逆に 1 の原始 n 乗根はこの形に表せる。すなわち、1の原始 n 乗根は、オイラーのφ関数を用いて、ちょうど φ(n) 個存在する。
方程式 x^n = 1 を考える。この方程式の根は、ド・モアブルの定理より、
x=cos 2π k/n+isin 2π k/n (0 <= k <= n-1)
であるが、1 の原始 n 乗根 ξn を一つ選べば、
x=ξn^k (0 <= k <= n-1)
と書くことができる。
根号を用いて表示できること、つまり方程式が代数的にも可解であることはガウスにより証明された。
(引用終り)
537: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 08:54:20.81 ID:qyW7buAe(10/40) AAS
>>520 補足
あと、つまらんことだが
カンニングして文句をつけるのもあれだが
数学雑記さんが、問２の(2)で書いている証明は、あくまで略式だから、これを正式な書き方と思わない方がいい
具体的には、等号の間に、なまの文を挿入しているよね
これ試験答案で書くと印象悪いだろうね、多分。教科書の証明では絶対やらんよ、これ。まねしないようにね（＾＾；
737(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/13(水) 11:13:45.17 ID:B03yN3rM(4/14) AAS
>>736 補足
（>>520より）
円分体
ζn^k ＝(cos2π/n + i sin2π/n)^k
＝(cos2πk/n + i sin2πk/n)
(ここに、1 <= k <= n )
ここで、kが変数で、nは定数と見ることが出来る
しかし、nも変数と見ることが出来る
例えば、下記のオイラーの関数 φ(n) を考えると、明らかにnは変数と考えるべき
要するに、文字nを使ったら、それは、数学のコンテキスト（文脈あるいは背景）によって、あるときは変数であり、あるときは定数だと
数学のコンテキストを抜きに、変数だ常数だと言っても無意味だ
かつ、いまの場合に、話を難しくしているのは、”確率変数の族”だからなのだがね
つまりは、この場合の数学のコンテキストは、確率過程論の中にあるのだよと
確率過程論の中にある数学のコンテキストを理解できないやつが、
字面の”変数”だけで、”定数”だからとか、”変数は箱に入れられない”と論じるから、噴飯ものの議論になるってことよ
確率過程論の”確率変数の族”の定義読めよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%CF%86%E9%96%A2%E6%95%B0
オイラーのφ関数
オイラーのトーシェント関数（オイラーのトーシェントかんすう、英: Euler's totient function）は各正の整数 n に対して、1 から n までの自然数のうち n と互いに素なものの個数を φ(n) として与えることによって定まる数論的関数 φ である。慣例的に φ(n) と表記されるため、オイラーの φ 関数（ファイかんすう、phi function）とも呼ばれる。また、簡略的にオイラーの関数と呼ぶこともある。
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