[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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178(6): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 15:59:08.09 ID:QNIYYpOH(3/7) AAS
>>177 追加
ちょっと閃いたね〜ｗ（＾＾
命題2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
（略証）
背理法を使う
sinπ/p ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
が成り立つとする
ζp-1/ζp =2i*sinπ/p∈ Q(ζp)
だから
i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
となる
そうすると
Q(ζp) ＝ Q(i,ζp) ＝Q(ζ4p)となる＊）
これは、矛盾である
QED
＊）注：Q(ζp) ＝ Q(i,ζp) ＝Q(ζ4p)の矛盾を示すところで
円分体の大定理(>>176)を使うというのが、結構大げさなんだけどね（＾＾；
まあ、昔受験時代に読んだ、「大学への数学」でよく言われたのが
「牛刀を用いてニワトリを割く」という言葉なんだけど
（当時は、大学で扱う大定理の系として、問題を解くみたいな使い方だったと思ったが）
まあ、この問題では、円分体の理論との結びつきという意味で、一番見通しがいいかもね
円分体の大定理の証明？ それは私の手に余るので、加川貴章先生（>>173-174）へどうぞ
まあ、どこか探せば、PDFが落ちていると思うし、教科書とかにも載ってそうです
（高木の整数論とかにないかな （これは持ってないんだが）？（＾＾； ）
http://www.kokin.rr-livelife.net/koto/koto_ki/koto_ki_4.html
ことわざ図書館
(抜粋)
牛刀をもって鶏を割くぎゅうとうをもってにわとりをさく
「鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん」ともいう。
小事を処理するのに、大掛かりな手段を用いることのたとえ。
179: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 16:02:27.93 ID:QNIYYpOH(4/7) AAS
>>178 補足
この背理法は、多分
これ、>>115より
"K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。"
と同じ話だろうね
”背理法”と呪文を唱えると
証明っぽくなるよね（＾＾
180: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 16:05:20.07 ID:QNIYYpOH(5/7) AAS
>>178
>円分体の大定理の証明？ それは私の手に余るので、加川貴章先生（>>173-174）へどうぞ
加川ゼミでこれやると、「証明は？」と言われて、
黒板ハリツケの刑で、私は立ち往生ですね （＾＾
181: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 16:20:31.97 ID:QNIYYpOH(6/7) AAS
>>178
>i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
>となる
昔、高校数学で、割り算のとき
「必ず 分母 ≠0 を言え」と、口酸っぱく言われたね（＾＾；
分母 ≠0 と 分母 ＝0 の場合で、
場合分けを、落とし穴として引っかけで、
証明の出題をしている場合が多いのだとかね
一言書いてあるだけで、印象が違うとかも言われた
まあ、sinπ/p ≠0 は良いでしょうね（＾＾
182: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 16:23:25.67 ID:QNIYYpOH(7/7) AAS
>>178 タイポ訂正 （流しを兼ねて）
i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
↓
i = （i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
ケアレスミスが多いな
注意しましょうね（＾＾；
186(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 21:17:09.49 ID:C0V9I9pS(7/10) AAS
>>178
＞「牛刀を用いてニワトリを割く」という言葉なんだけど
下記にあるような、円分体のガロア対応をベースに
Q(ζp) 、 Q(i,ζp) 、Q(ζ4p)のガロア群を作って
「矛盾」を示すのもありかね
牛刀ではあるけれども、大学数学とは、むしろ、”牛刀使い”が、賞讃されるような気がする
というか、Q(ζp) 、 Q(i,ζp) 、Q(ζ4p)などは、あくまで学習のための具体例の一つであって
”牛刀の使い方と切れ味”を試すための学習例にすぎないのだと
（私は、まだまだそこへ行っていませんがね（＾＾； ）
http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/17/104038
美的数学のすすめ
2015-04-17
円分体のガロア対応
(抜粋)
ガロア対応を円分体に応用すると、ガウス周期と、ガロア群の部分群との関係が分かります。ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、ガロア理論と実質的に同様のことを理解していたといわれています。
ガウスは、19歳のある朝、正17角形が作図可能であることに気が付きましたが、その着想を円分体論として公表したのが1801年、ガウスが24歳のときでした。（ガウス整数論（Disquisitiones Arithmeticae））
ガロアが誕生したのは1811年、1832年に決闘で亡くなるまでにガロアはガウスの円分体論を当然知っていました。ガロアは、このガウスの円分体論を強く意識して（「ガロワ理論下」デイヴィッド・A. コックス、338ページ）、ガロア理論の着想を得たと考えられています。
円分体論とはこれだけのことか？
ここまで見てきた対応は、ガロア理論の応用です。このガロア理論は、これだけでも十分に驚くべき内容です。ガロア理論は全ての体について成り立つものですが、上のようにきれいな形でガロア対応を記述できるものはそう多くありません。その意味で、上の結果だけでも十分です。
しかし、円分体論はガロア理論に吸収されてしまうのでしょうか？そうではありません。上のガロア対応にはガロア理論を超えたさらに驚くべき内容が隠されています。それを考えるには、円分多項式がmodpでどのように因数分解されるのか考える必要があります。
次回は、円分多項式がmodpでどのように因数分解されるか考えてみます。
(引用終り)
523(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 00:00:44.35 ID:qyW7buAe(1/40) AAS
>>522
つづき
で、これを因数分解で見ると
x^4p - 1
＝(x^2p - 1)(x^2p + 1)
＝(x^p - 1)(x^p + 1)(x^2p + 1)
＝0
x^p ＝ 1 から、ζpがでる
x^p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ2pがでるが、Q(ζp)＝ Q(ζ2p)
x^2p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ4pがでる
体の拡大の次数は
|Q(ζp)：Q|＝p-1
|Q(ζ2p)：Q|＝p-1
|Q(ζ4p)：Q|＝2(p-1)
|Q(ζp)∩ R：Q|＝|Q(ζ2p)∩ R：Q|＝(p-1)/2
|Q(ζ4p)∩ R：Q|＝p-1
>>114の
問1：cos(π/n)∈Q(sin(π/n)) の証明は、
>>158-159の通りで、
「nが奇数ならn-1=2mと表せてcosの2m倍角公式がsinだけで書ける」（spread 多項式 Smを使う）ことから従う
問2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)の略証は、>>178に書いた通り
あと残っているのは
”Q(sinπ/p) ＝ Q(ζ4p)∩ R ”が成り立つはずなのだが・・、
まだ示せていない（＾＾；
追伸
なお、ここらの式変形やテクニックは、円分体やガロア理論では頻出だったよね、確か（＾＾；
まあ、ガウスなら秒殺で浮かぶだろうことが、鈍才のスレ主は、思いだしながら１週間くらいかかったよ（＾＾
つづく
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