[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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177(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 13:36:21.54 ID:QNIYYpOH(2/7) AAS
>>176 蛇足
これも蛇足だが
ζ2＝cos2π/2 + i*sin2π/2 =cosπ + i*sinπ =-1
なので、
Q(ζ2p)＝Q(ζp)・・・(1)
かな？
で、
Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)・・・(2)
（iとζpとを添加した体）
と見ることができて
Q(ζ2p)⊂Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)
ζ2p - 1/ζ2p ＝-2i*sinπ/p
だったから
sinπ/p ∈ Q(ζ4p)＝Q(i,ζp)
は、すぐに得られるね
だから、どうしたと言われそうだがね
で、問題は、
(>>114)
命題2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
をどう示すかなのだが
こういう場合に、背理法が使えればいいのだが
sinπ/p ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p) を仮定して、
うまく矛盾が導かれるかどうか
（当然矛盾はしているのだが・・）
鈍才の私には、なかなか閃きません（＾＾；
178(6): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/06(水) 15:59:08.09 ID:QNIYYpOH(3/7) AAS
>>177 追加
ちょっと閃いたね〜ｗ（＾＾
命題2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
（略証）
背理法を使う
sinπ/p ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)
が成り立つとする
ζp-1/ζp =2i*sinπ/p∈ Q(ζp)
だから
i = （2i*sinπ/p）/（sinπ/p） ∈ Q(ζp)
となる
そうすると
Q(ζp) ＝ Q(i,ζp) ＝Q(ζ4p)となる＊）
これは、矛盾である
QED
＊）注：Q(ζp) ＝ Q(i,ζp) ＝Q(ζ4p)の矛盾を示すところで
円分体の大定理(>>176)を使うというのが、結構大げさなんだけどね（＾＾；
まあ、昔受験時代に読んだ、「大学への数学」でよく言われたのが
「牛刀を用いてニワトリを割く」という言葉なんだけど
（当時は、大学で扱う大定理の系として、問題を解くみたいな使い方だったと思ったが）
まあ、この問題では、円分体の理論との結びつきという意味で、一番見通しがいいかもね
円分体の大定理の証明？ それは私の手に余るので、加川貴章先生（>>173-174）へどうぞ
まあ、どこか探せば、PDFが落ちていると思うし、教科書とかにも載ってそうです
（高木の整数論とかにないかな （これは持ってないんだが）？（＾＾； ）
http://www.kokin.rr-livelife.net/koto/koto_ki/koto_ki_4.html
ことわざ図書館
(抜粋)
牛刀をもって鶏を割くぎゅうとうをもってにわとりをさく
「鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん」ともいう。
小事を処理するのに、大掛かりな手段を用いることのたとえ。
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