[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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160(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 22:06:47.90 ID:YkzLfObS(8/8) AAS
>>152 タイポ訂正の訂正
ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/p
↓
ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/4p=2sinπ/2p
Q(sin2π/p)を考えようというのが
↓
Q(sinπ/p)を考えようというのが
これもとい。訂正の方が間違っていた（＾＾；
いやー、おっちゃんのこと言えんな〜（＾＾；
下記と混同していたな
スレ59 2chｽﾚ:math
(抜粋)
Q(cos2π/p)とQ(sin2π/p)と問題で
sin2π/p=cos{2π/p-π/2}=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用
↓
この類推で
原問のQ(cosπ/p)とQ(sinπ/p)では
sinπ/p=cos{2π/2p-π/2}=cos{2π(2-p)}/4pであることを利用
とでもして、
ζ4p^(2-p) + 1/ζ4p^(2-p)＝2cos{2π(2-p)}/4p＝2sinπ/p
なので
ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)k
を作って、
OG(sinπ/p)
を作るのでしょうか？
だからOG(sinπ/p)の元を調べて、
2sinπ/p = ζ4p^(2-p) + 1/ζ4p^(2-p)
は、OG(cosπ/p) の外だと言えればいい
(引用終り)
と、自分で書いたのに、ボケとるよなー、おれって・・（＾＾；
で、ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)kが、拡大Q（sinπ/p）の原始元になっていれば、嬉しい
で、繰り返しになるが
数学雑記さん（>>114）http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
が、解答の中でやっているように
ζ4p + 1/ζ4p を作ることができれば、これは2cos 2π/(4p)=2cosπ/(2p)
なので、倍角公式で、cosπ/p が出せる
gcd(4p,k)=1とか、gcd(4p,4-p)=1とかに似た話しはどっかで読んだ気がするのだが
{ζ4p^(2-p)k + 1/ζ4p^(2-p)k}を何度も掛けていく（べき乗を作る）と思った・・（＾＾；
ここらの式変形はガウスのDAにあったかもね・・。もし、あったらガウスはほんと天才やね（＾＾
（彼は、19歳でDAをほとんど書き上げたというからね・・）
まあ、もうちょっと、調べてみましょう
確かに、ここらは（円分体は）、いろんな数論の出発点やね・・
知っといて損はない。というか、知っておく方が絶対良いよね
171(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 07:34:23.12 ID:C0V9I9pS(2/10) AAS
>>160 追加
ようやく、問題の構造が分った〜！（＾＾
下記「Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。」で
最大実部分体 or 実円分体 が、キーワードやね
これで、検索すると、いろいろヒットするね
それは、ともかく
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)
という構造なんやね
で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)と⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾
で、sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない）
だと、それを示せば良いのだ
なお、Q(sinπ/p)＝Q(ζ4p + 1/ζ4p)なのでしょうね、多分
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)は、>>158-159で終わったが
”sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない）”の細部の証明が、まだ示せないスレ主でした（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(抜粋)
性質
・Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。
(引用終り)
以上
195(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/07(木) 07:58:20.48 ID:ZzZOHX/k(4/12) AAS
>>189
> http://hooktail.sub.jp/contributions/galoire32160913tu.pdf
>響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著) 2016 年12 月５日
これなかなか良いです
”３．序論? オイラーの関数”で、
オイラー（Euler) の関数Φを取り上げている
”５．原始Ｎ乗根の存在”で
”一般的には、方程式X^n = 1 の原始Ｎ乗根は
集合{ζi} （i はn と互いに素）
で表され、その個数は、オイラーの関数個、つまり、Φ(n) 個存在することがわかる。
円周等分多項式など後述するように円分体の構造の分析には、“オイラー関数個ある原始Ｎ乗根”が決定的に
重要な役割を果たす。”
と
そうそう、これこれ、
これだね >>147や>>160の
「gcd(4p,k)=1とか、gcd(4p,4-p)=1とか」は、この話しだったね（今頃思い出したよ（＾＾； ）
”８．円分体Ｑ（ζ）の基底”も良いですね〜（＾＾
”【参考】ガロア理論の論点整理”も良い
「ガロア理論は壮麗な交響楽のようで、その理論構成は見事としかいいようがないのだが、あまりの重層的な
創りに見方を誤ると迷路から抜け出せないという危うさを常に孕んでいる。
そこで、理論の論点をまとめてみた。ガロア理論の解説書は多くみられるが、いずれも難解なものばかりで
論点をまとめて提示するなど教育に配慮した書物は少ない。だから自分がいま、どこの山場の何合目にいるの
かという立ち位置がわからず、迷子になってしまうのである。その場合、必ず下記の四つの山場のいずれかに
迷い込んでいることは間違いない。この参考を自らの立ち位置を確認するものとして使っていただきたい。」
以上
520(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/10(日) 23:57:54.10 ID:6AF3LOKJ(11/13) AAS
>>160 関連
（問題は >>114 ご参照）
円分体の一般論は、私にはとても手に負えないが
問題に必要な最小限の p,2p,4p の場合のみ考えてみたので、ご参考までに書く
＜数学の内容は、ほぼ高校数学の延長線上だが、円分体やガロアでは頻出だったと思う＞
数学雑記さんより
http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
2017-08-05 体論の期末試験(再現)
が、解答の中でやっていることの補足です
（円分体の掘り下げ）
ζ4pを作ります
ζ4p
＝cos2π/4p + i sin2π/4p
＝cosπ/p + i sinπ/p
これは
x^4p - 1＝0の根です
拡大体 Q（4p）内で、
ζ4pのベキを考えることができます
p乗で
（ζ4p)^p
＝cos2π/4 + i sin2π/4
＝cosπ/2 + i sinπ/2
＝ i
となり、iが得られます。なお、iは虚数単位です。
つまりi=e^(π/2)=ζ4 ∈Q(ζ4p)です
（後述の永野哲也研 長崎県立大 １の8乗根の図解ご参照 ）
つづく
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