[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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158(3): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/05(火) 19:15:13.78 ID:ymaflZ3n(2/2) AAS
>問1 cos(π/n)∈Q(sin(π/n))
cos((n-1)π/n)=-cos(π/n)
でnが奇数ならn-1=2mと表せて
cosの2m倍角公式がsinだけで書ける
ことを使えばいいんじゃね？
>問2 sin(π/n)はQ(cos(π/n))には含まれない
逆はちと難しいな
sinの2m倍角公式がcosだけでは書けない
といえばいいんだろうけど
159(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 21:18:35.33 ID:YkzLfObS(7/8) AAS
>>158
>cosの2m倍角公式がsinだけで書ける
>ことを使えばいいんじゃね？
おお、なるほどね〜（＾＾
cos((n-1)π/n)=cos(2mπ/n)
π/n：＝θとして
cos(2mθ)= 1-2(sin(mθ))^2 =1-2Sm((sinθ)^2)
ここに、Smは、下記のm 次の spread 多項式か
なるほどね（＾＾；
うまいね〜（＾＾
ザブトン１枚！
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
三角関数の公式の一覧
(抜粋)
倍角・三倍角・半角の公式
cos2θ ＝ 1-2(sinθ)^2
倍角公式
Sn は n 次の spread 多項式
(sin(nθ))^2 =Sn((sinθ)^2)
171(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/06(水) 07:34:23.12 ID:C0V9I9pS(2/10) AAS
>>160 追加
ようやく、問題の構造が分った〜！（＾＾
下記「Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。」で
最大実部分体 or 実円分体 が、キーワードやね
これで、検索すると、いろいろヒットするね
それは、ともかく
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)
という構造なんやね
で、Q(ζ2p + 1/ζ2p)と⊂Q(ζ4p + 1/ζ4p)の二つが、円分体の”最大実部分体または実円分体”だと（＾＾
で、sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない）
だと、それを示せば良いのだ
なお、Q(sinπ/p)＝Q(ζ4p + 1/ζ4p)なのでしょうね、多分
Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(sinπ/p)は、>>158-159で終わったが
”sinπ/pは、Q(cosπ/p)＝Q(ζ2p + 1/ζ2p)の外（含まれない）”の細部の証明が、まだ示せないスレ主でした（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(抜粋)
性質
・Q(ζm)∩R}= Q(ζm+1/ζm) である。このQ(ζm+1/ζm)を、最大実部分体または実円分体という。
(引用終り)
以上
523(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 00:00:44.35 ID:qyW7buAe(1/40) AAS
>>522
つづき
で、これを因数分解で見ると
x^4p - 1
＝(x^2p - 1)(x^2p + 1)
＝(x^p - 1)(x^p + 1)(x^2p + 1)
＝0
x^p ＝ 1 から、ζpがでる
x^p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ2pがでるが、Q(ζp)＝ Q(ζ2p)
x^2p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ4pがでる
体の拡大の次数は
|Q(ζp)：Q|＝p-1
|Q(ζ2p)：Q|＝p-1
|Q(ζ4p)：Q|＝2(p-1)
|Q(ζp)∩ R：Q|＝|Q(ζ2p)∩ R：Q|＝(p-1)/2
|Q(ζ4p)∩ R：Q|＝p-1
>>114の
問1：cos(π/n)∈Q(sin(π/n)) の証明は、
>>158-159の通りで、
「nが奇数ならn-1=2mと表せてcosの2m倍角公式がsinだけで書ける」（spread 多項式 Smを使う）ことから従う
問2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)の略証は、>>178に書いた通り
あと残っているのは
”Q(sinπ/p) ＝ Q(ζ4p)∩ R ”が成り立つはずなのだが・・、
まだ示せていない（＾＾；
追伸
なお、ここらの式変形やテクニックは、円分体やガロア理論では頻出だったよね、確か（＾＾；
まあ、ガウスなら秒殺で浮かぶだろうことが、鈍才のスレ主は、思いだしながら１週間くらいかかったよ（＾＾
つづく
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