[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
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134(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 07:44:21.15 ID:YkzLfObS(5/8) AAS
>>131-133
ありがとう
これ、被っているかも知れないが
>>116
つづき
数学雑記さん（>>114）は、sin2π/p=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用し
ζ4pを使っている
ζ4p=e^(2πi/4p)=cos(2π/4p)+i*sin(2π/4p)
ζ4p=e^(πi/2p)=cos(π/2p)+i*sin(π/2p)
なので、
cos(π/2p)∈ Q(ζ4p)
i*sin(π/2p)∈ Q(ζ4p)
(直ちに、-{sin(π/2p)}^2∈ Q(ζ4p) ｜蛇足だが実数化した)
で、倍角公式で
cos2θ＝cos^2θ-sin^2θ、sin2θ＝2sinθcosθ
を使うと
cos(π/p)∈ Q(ζ4p)
sin(π/p)∈ Q(ζ4p)
が分る
（cos(π/p)∈ Q(ζ4p)の方は、cos(π/p)∈ Q(ζ2p)から自明ですけどね）
で、Q(sin(π/p))⊂ Q(ζ4p) が示せた
これをベースに、>>114の
問1 cos(π/p)∈Q(sin(π/p))
問2 sin(π/p)はQ(cos(π/p))には含まれない
については、 Q(ζ4p)、Q(ζ2p)、Q(sin(π/p))とQ(cos(π/p))の関係を見て行けば良い
つまり、円分体の理論が即つかえる
それを、具体的に実行しているのが、
数学雑記さん（>>114）http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
なのですね（＾＾
細かくは、また後で
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
三角関数の公式の一覧
つづく
135: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 07:46:04.00 ID:YkzLfObS(6/8) AAS
>>134
つづき
（関係ないけどご参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E4%B9%97%E6%B3%95
(抜粋)
虚数乗法とは、通常よりも大きな対称性をもつ楕円曲線の理論のことをいう。別のいいかたをすれば、周期格子（英語版）がガウス整数の格子であったり、アイゼンシュタイン整数の格子であったりするような、余剰な対称性を持つ楕円函数の理論である。楕円曲線の高次元化であるアーベル多様体についても同様に大きな対称性をもつ場合があり、これらを扱うのが虚数乗法論である。
特殊関数の理論として、そのような楕円函数や多変数複素解析函数のアーベル函数は、大きな対称性をもつことからその関数が多くの等式をみたすことがいえる。特別な点では具体的に計算可能な特殊値を持つ。また虚数乗法は代数的整数論の中心的なテーマであり、円分体の理論をより広く拡張する事を可能にする。
虚数乗法は、虚二次体の類体における相互法則、主イデアル定理、分岐の様子を、楕円函数や楕円曲線のことばで具体的に書き表すことを可能とする。ダフィット・ヒルベルト(David Hilbert)は、楕円曲線の虚数乗法論は数学のみならず、すべての科学の中の最も美しい分野であると言っている。 [1]
クロネッカーとアーベル拡大
レオポルト・クロネッカーは、楕円曲線の位数有限の点での楕円函数の値が虚二次体のすべてのアーベル拡大を生成するに十分であるというアイデアを提唱した。これは特別な場合にはアイゼンシュタインやガウス(Carl Friedrich Gauss)によりすでに研究されていた。
これがクロネッカーの青春の夢（ヒルベルトの第12問題）であり、上記のヒルベルトの指摘したことである。志村の相互法則を通して、有理数体のアーベル拡大が 1のべき根の方法で構成できることを示し、類体論をより明白なものとしている。
実際、K を類体 H をもつ虚二次体として、E を H 上に定義された K の整数によって虚数乗法を持つ楕円曲線とする。このとき K の最大アーベル拡大は、H 上の E のあるヴァイエルシュトラスのモデルの有限位数の点の x-座標により生成される。[3]
クロネッカーのアイデアには多くの一般化が考えられる。しかしながら、ラングランズ哲学の主要な方向性とはすこし異なるもので、今のところ決定的なステートメントは知られていない。
(引用終り)
以上
147(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/02/05(火) 11:50:17.17 ID:T/njRROM(5/13) AAS
>>134 追加
スレ59 2chｽﾚ:math
を、ご参照
数学雑記さん（>>114）http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
が、解答の中でやっているのが
ヒント、”sin2π/p ＝（cos{2π/p-π/2}) ＝cos{2π(4-p)}/4p” に注意してなんだけど
ζ4p^(4-p)+ζ4p^-(4-p)で、”sin2π/p=cos{2π(4-p)}/4p”を使っているのですね
分かりやすく書くと
ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p) = 2cos{2π(4-p)}/4p=2sin2π/p
ってことなのですが
で、左辺の{ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p)}を使って、
Q(sin2π/p)を考えようというのが
数学雑記さんの解答で書かれていることですね
gcd(4p,k)=1とか、gcd(4p,4-p)=1とかは、
{ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p)}を使って拡大体を構成するときの、注意点だったと思った
拡大体を、ベクトル空間とみて、基底を定める。そのときに、原始元がすぐ見つかるといい
{ζ4p^(4-p)+1/ζ4p^(4-p)}が、原始元であれば、うれしいと（＾＾
（下記をご参照）
細かいところが、再現できないのが、残念ですが（＾＾
（もうちょっと、カンニングすれば、思い出せそうですが・・）
院試でも受けようという人は、ここは再現できないといけませんよね（＾＾；
http://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/
物理のかぎしっぽ
拡大体
(抜粋)
体 F の拡大体 E は， F 上のベクトル空間になっています．
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E6%8B%A1%E5%A4%A7
有限拡大
(抜粋)
数学、より正確にはガロワ理論に際して代数学において、有限拡大 (仏: extension finie) は次数有限の体の拡大である、すなわち、体 K の拡大可換体であって、K-ベクトル空間として次元が有限のものである。そのような拡大はつねに代数的である。
動機付け
線型代数学と同様、ガロワ理論は有限次元の方が無限次元よりもはるかに簡単である。原始元の定理は例えばすべての代数体、すなわち有理数体 Q のすべての有限拡大は単拡大であることを保証する。
つづく
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