[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
131(4): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/05(火) 07:06:41.74 ID:VAkhjfr2(1/3) AAS
>>115
結局、その命題から次のことが分かる。
Zを整数環とする。(1/2)Zに含まれない任意の
有理数に対してその既約分数表示をm/nとすると
nが奇数のとき
Q(sin(mπ/n))/Q(cos(mπ/n)) は2次拡大。
nが2で割れるが4で割れないとき
Q(cos(mπ/n))/Q(sin(mπ/n)) が2次拡大。
nが4で割れるとき
Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)).
134(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/05(火) 07:44:21.15 ID:YkzLfObS(5/8) AAS
>>131-133
ありがとう
これ、被っているかも知れないが
>>116
つづき
数学雑記さん（>>114）は、sin2π/p=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用し
ζ4pを使っている
ζ4p=e^(2πi/4p)=cos(2π/4p)+i*sin(2π/4p)
ζ4p=e^(πi/2p)=cos(π/2p)+i*sin(π/2p)
なので、
cos(π/2p)∈ Q(ζ4p)
i*sin(π/2p)∈ Q(ζ4p)
(直ちに、-{sin(π/2p)}^2∈ Q(ζ4p) ｜蛇足だが実数化した)
で、倍角公式で
cos2θ＝cos^2θ-sin^2θ、sin2θ＝2sinθcosθ
を使うと
cos(π/p)∈ Q(ζ4p)
sin(π/p)∈ Q(ζ4p)
が分る
（cos(π/p)∈ Q(ζ4p)の方は、cos(π/p)∈ Q(ζ2p)から自明ですけどね）
で、Q(sin(π/p))⊂ Q(ζ4p) が示せた
これをベースに、>>114の
問1 cos(π/p)∈Q(sin(π/p))
問2 sin(π/p)はQ(cos(π/p))には含まれない
については、 Q(ζ4p)、Q(ζ2p)、Q(sin(π/p))とQ(cos(π/p))の関係を見て行けば良い
つまり、円分体の理論が即つかえる
それを、具体的に実行しているのが、
数学雑記さん（>>114）http://fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
なのですね（＾＾
細かくは、また後で
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
三角関数の公式の一覧
つづく
198: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/07(木) 08:29:59.74 ID:oVjUP8PL(1/6) AAS
>>131は証明できましたか？
221(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/07(木) 19:21:56.89 ID:ciEPvBoP(2/9) AAS
>>131
>Zを整数環とする。
>(1/2)Zに含まれない任意の有理数に対して
>その既約分数表示をm/nとすると
>
>nが奇数のとき
>Q(sin(mπ/n))/Q(cos(mπ/n)) は2次拡大。
>
>nが2で割れるが4で割れないとき
>Q(cos(mπ/n))/Q(sin(mπ/n)) が2次拡大。
>
>nが4で割れるとき
>Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)).
そういうことでしたか
よろしければ元ネタを教えていただけますか？
562(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/11(月) 10:13:23.62 ID:61ruhzCC(2/16) AAS
>>131も参照
要するにπ/2シフトで
「nが奇数のとき」と「nが2で割れるが4で割れないとき」
が入れ替わり
「nが4で割れるとき」は不変
sinとcos 全てのケースで入れ替わり
という関係になっている。
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.041s