[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/

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529: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 08:17:49.36 ID:qyW7buAe >>520 補足 いま読み返すと、前スレで ID:I3RTouchさんが書いてくれていた一部を 私が>>520以下で具体的に示したわけか ようやく意図がわかったよ、ありがとう（＾＾ (引用開始) 前スレ59 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/381 381 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/01/28(月) 01:03:38.54 ID:I3RTouch [1/4] >>168で「特化した証明」と書きましたが、まったく任意の実数xも含めて考えてみたので書きますね。 当初考えていた証明→ sin のn倍角公式を使うもの でしたが、オイラーの公式を使った方が簡単。 オイラーの公式: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x). そして、x:π/n の整数倍　とは限らず、x:任意の実数 でもある程度の分析は可能→命題参照 Qを有理数体、Rを実数体とする。 xをπの整数倍ではない任意の実数とする。K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。 以上のことから次の命題が成立することが分かる。 命題　sin(x)∈K ⇔ i∈L. 最も簡単なケース（円分体） e^(ix)の整数乗でi に等しいものがあるとき ⇔ Lが1のn乗根（nは4の倍数）の体のとき i∈L だとしても、それが「e^(ix)の整数乗」という形で含まれるとは限らないので sin(x)\not∈K　の証明はより難しい。 sinとcos を入れ替えた場合→　x+π/2　として分析できる。 （以上、オイラーの公式と初歩的な代数しか使ってない。） (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/529

560: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/11(月) 10:05:22.35 ID:61ruhzCC >>533 >あと残っているのは >”Q(sinπ/p) ＝ Q(ζ4p)∩ R ”が成り立つはずなのだが・・、 >>529 >K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと >L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。 >sinとcos を入れ替えた場合→　x+π/2　として分析できる。 とあるでしょ。 上の関係でπ/2シフトするとcos(x)は-sin(x)になる 一方、nが奇数のとき1の原始2n乗根はπ/2シフトである原始4n乗根になることと 体としては、どの原始N乗根をとっても同じ体（ガロア拡大）であることに注意すればいい。 別に円分体の込み入った議論は一切必要ない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/560

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