[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む60 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/

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522: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/10(日) 23:59:50.72 ID:6AF3LOKJ >>521 つづき これより ζp^{(p+1)/2} + 1/ζp^{(p+1)/2} = -2cosπ/p つまり、 cosπ/p ∈Q(ζ2p) (＝(ζp)） なお ζp^{(p+1)/2} - 1/ζp^{(p+1)/2} = -2i sinπ/p だから i ∈Q(ζ4p) が使えて（割るか掛けるかする） （cosπ/p,sinπ/p) ⊂ Q(ζ2p)∩R(実円分体） です で、上記より実円分体で、 （ζp ＋1/ζp,・・・,ζp^{(p-1)/2} ＋1/ζp^{(p-1)/2} ）⊂ Q(ζp)∩ R ＝ Q(ζ2p)∩ R ＝ Q(cosπ/p)⊂Q(sinπ/p)⊂ Q(ζ4p)∩ R ＝Q(i,ζp)∩ R が成り立つ 元の円分体で示すと Q(ζp)＝ Q(ζ2p)⊂ Q(ζ4p)＝Q(i,ζp) です 言葉で述べると ・Q(ζp)は、Q内に-1=e^πiを含んでいるので、Q(ζ2p)（2p等分点による）と等しい ・Q(ζ4p)（4p等分点による）は、iを含む ・Q(i,ζp)で、iとζpによる拡大体になる つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/522

523: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 00:00:44.35 ID:qyW7buAe >>522 つづき で、これを因数分解で見ると x^4p - 1 ＝(x^2p - 1)(x^2p + 1) ＝(x^p - 1)(x^p + 1)(x^2p + 1) ＝0 x^p ＝ 1 から、ζpがでる x^p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ2pがでるが、Q(ζp)＝ Q(ζ2p) x^2p ＝ - 1 から、- 1=e^πi を使ってζ4pがでる 体の拡大の次数は |Q(ζp)：Q|＝p-1 |Q(ζ2p)：Q|＝p-1 |Q(ζ4p)：Q|＝2(p-1) |Q(ζp)∩ R：Q|＝|Q(ζ2p)∩ R：Q|＝(p-1)/2 |Q(ζ4p)∩ R：Q|＝p-1 >>114の 問1：cos(π/n)∈Q(sin(π/n))　の証明は、 >>158-159の通りで、 「nが奇数ならn-1=2mと表せてcosの2m倍角公式がsinだけで書ける」（spread 多項式 Smを使う）ことから従う 問2：sinπ/p not ∈ Q(ζ2p + 1/ζ2p)⊂Q(ζ2p)＝Q(ζp)の略証は、>>178に書いた通り あと残っているのは ”Q(sinπ/p) ＝ Q(ζ4p)∩ R ”が成り立つはずなのだが・・、 まだ示せていない（＾＾； 追伸 なお、ここらの式変形やテクニックは、円分体やガロア理論では頻出だったよね、確か（＾＾； まあ、ガウスなら秒殺で浮かぶだろうことが、鈍才のスレ主は、思いだしながら１週間くらいかかったよ（＾＾ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/523

525: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/02/11(月) 00:06:16.49 ID:qyW7buAe >>522 タイポ訂正 （cosπ/p,sinπ/p) ⊂ Q(ζ2p)∩R(実円分体） 　↓ （cosπ/p,sinπ/p) ⊂ Q(ζ4p)∩R(実円分体） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1549182453/525

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